[論文レビュー] The origin of regular Newtonian potential in infinite derivative gravity

Yun Soo Myung, Young-Jai Park|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元微分重力（IDG）における通常のニュートンポテンシャルが、点状質量源からではなく、運動量空間におけるガウス分布した質量密度から生じることを示している。IDGのプロパゲーターが整関数（例：$ e^{ au^2 oxempty/4} $）を持つ場合、ガウス分布する質量分布 $ \rho_{\text{IDG}}(r) \propto e^{-r^2/\sigma^2} $ を誘導することを示し、原点における特異性を回避することで、有限なポテンシャル $ \Phi_{\text{IDG}}(r) = -GM \cdot \text{Erf}(r/\sigma)/r $ を得る。この結果、IDGにおける正則性の起源が解明され、理論が再帰化可能性と整合していることが確認される。

ABSTRACT

It turns out that the infinite derivative gravity (IDG) is ghost-free and renormalizable when one chooses the exponential of an entire function. For this IDG case, the corresponding Newtonian potential generated from the delta function is non-singular at the origin. However, we will explicitly show that the source generating this non-singular potential is given not by the delta-function due to the point-like source of mass, but by the Gaussian mass distribution. This explains clearly why the IDG with the exponential of an entire function yields the finite potential at the origin.

研究の動機と目的

• 無限次元微分重力（IDG）における原点で有限である非特異的ニュートンポテンシャルの物理的起源を明確化すること。
• 整関数（例：微分作用素の指数関数）を持つIDGがなぜニュートン的特異性を回避するのかという長年の問いを解消すること。
• IDGにおける重力ポテンシャルの真の源を特定すること—具体的には、デルタ関数源か、広がった質量分布か。
• IDGにおける運動量空間での源の形と、それに対応する空間的質量分布との直接的な関係を確立すること。

提案手法

• 作用 $ S_{\text{IDG}} = -\frac{1}{2\kappa^2} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + G_{\mu\nu} \frac{a(\square_\sigma)-1}{\square} R^{\mu\nu} \right] $ からIDGの線形化プロパゲーターを導出する。ここで $ a(\square_\sigma) = e^{\sigma^2 \square / 4} $ である。
• 運動量空間における静的極限のプロパゲーターを計算し、$ \mathcal{D}^{\text{IDG}}_{\mu\nu,\rho\sigma}(k) \propto \frac{1}{a(-k^2_\sigma)} \frac{1}{k^2} $ を得る。ここで $ a(-k^2_\sigma) = e^{-\sigma^2 k^2 / 4} $ である。
• 逆フーリエ変換を実行し、ニュートンポテンシャル $ \Phi_{\text{IDG}}(r) = -\frac{GM}{r} \cdot \text{Erf}(r/\sigma) $ を得る。このポテンシャルは $ r=0 $ で有限である。
• 逆フーリエ変換により運動量空間の源 $ \tilde{\rho}_{\text{IDG}}(|\mathbf{k}|) = M e^{-\sigma^2 |\mathbf{k}|^2 / 4} $ を実空間に変換し、質量密度 $ \rho_{\text{IDG}}(r) = \frac{M}{\pi^{3/2} \sigma^3} e^{-r^2 / \sigma^2} $ を得る。
• 得られたガウス分布質量からのポテンシャルを、デルタ関数源からの標準的ニュートンポテンシャルと比較し、正則性の起源を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整関数（例：微分作用素の指数関数）を持つ無限次元微分重力が、質量ゼロの極が存在しないにもかかわらず、原点で有限なニュートンポテンシャルをなぜ得るのか。
• RQ2 IDGにおける重力源の真の形は何か。それが正則なポテンシャルを生じる要因である。
• RQ3 IDGにおける源の運動量空間的構造は、実空間における質量分布とどのように関係しているか。
• RQ4 IDGにおける正則なポテンシャルは、大距離においてどれほど古典的ニュートンポテンシャルに類似しているか。

主な発見

• IDGにおける非特異的ニュートンポテンシャルは、点状質量源 $ \rho_{\text{p}}(r) = M\delta^{(3)}(\mathbf{r}) $ からではなく、ガウス分布する質量密度 $ \rho_{\text{IDG}}(r) = \frac{M}{\pi^{3/2} \sigma^3} e^{-r^2 / \sigma^2} $ から生じる。
• IDGにおける運動量空間の源は $ \tilde{\rho}_{\text{IDG}}(|\mathbf{k}|) = M e^{-\sigma^2 |\mathbf{k}|^2 / 4} $ であり、これはスケール $ \sigma $ における質量分布のガウス的スメアリングに対応する。
• 得られたポテンシャルは $ \Phi_{\text{IDG}}(r) = -\frac{GM}{r} \cdot \text{Erf}(r/\sigma) $ であり、$ r=0 $ で有限で、$ \Phi_{\text{IDG}}(0) = 0 $ である。これは古典的ポテンシャル $ -GM/r $ の特異性とは対照的である。
• $ r \geq 3\sigma $ の範囲では、IDGポテンシャルは漸近的に古典的ニュートンポテンシャルに近づくため、非局所効果は短距離に限定されている。
• 理論は、$ a(\square_\sigma) = e^{\sigma^2 \square / 4} $ という整関数により、ゴーストを含まず、再帰化可能である。この関数は極やゼロを持たず、負のノルム状態を生じない。
• したがって、正則性の起源は、点源がスケール $ \sigma $ にわたってガウス分布にスメアリングされることに起因する。