[論文レビュー] The output entropy of quantum channels and operations

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限次元および無限次元量子系における量子チャネルおよび量子操作の出力フォンノイマンエントロピーの連続性条件を確立する。特に、PCE性質（エントロピー連続性の保存）を導入し、Kraus作用素を用いた十分条件を導出し、ホールボ容量やエンタングルメント・オブ・フォーメーションといった主要な量子情報測度の連続性解析を可能にする。

ABSTRACT

Continuity properties of the output entropy of positive linear maps between Banach spaces of trace class operators are investigated with the special attention to the classes of quantum channels and operations. It is shown that finiteness of the output entropy of a positive map on the whole input state space implies its continuity. Sufficient conditions for this property expressed in terms of the Kraus representation of quantum channels and operations are presented. The characterization of a positive map "preserving continuity of the entropy" (in the sense that continuity of the entropy on a set of input states implies continuity of its output entropy on this set) is obtained and its applications to the class of quantum operations are considered. The special relation between continuity properties of the output entropies of complementary quantum operations is established and its corollaries are discussed. Continuity conditions for the output entropy of positive maps considered as a function of a pair (map, input state) are also obtained. Several applications to the quantum information theory are presented in the last part of the paper.

研究の動機と目的

• 入力状態の全空間上で、量子チャネルの出力エントロピーが連続となる条件を同定すること。
• 入力状態の集合上でエントロピーが連続である場合に、出力エントロピーが連続となる条件を同定すること。
• 量子操作と入力状態の両方を関数として見た出力エントロピーの同時連続性を分析すること。
• 連続性の結果を、無限次元系におけるホールボ容量およびエンタングルメント・オブ・フォーメーションの連続性に応用すること。

提案手法

• トレースノルム位相を用いたトレースクラス作用素空間間の正線形写像に対する出力エントロピーの連続性を分析する。
• 正線形写像に対してPCE性質（エントロピー連続性の保存）を定義し、スペクトル的性質を用いて特徴付ける。
• 量子操作およびその補完的写像に対して、Kraus作用素を用いたPCE性質の十分条件を導出する。
• スペクトル射影および有限ランク近似を用いて、状態の収束に伴うエントロピー変動を制御する。
• 変分法およびラグランジュ乗数を用いて、与えられた重み分布を持つ集合に対してエントロピーを最大化する。
• ボホン積分および状態空間上の確率測度の弱収束を用いて、バーゲンターやエントロピー連続性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子チャネルの出力エントロピーが、入力状態空間全体で連続となる条件は何か？
• RQ2 入力状態の部分集合において、それ自身が連続的エントロピーを持つ場合に、出力エントロピーが連続となる条件は何か？
• RQ3 補完的量子操作の連続性特性どうしがどのように関連しているか？
• RQ4 ホールボ容量がチャネルの関数として連続となる条件は何か？
• RQ5 出力エントロピーの連続性を用いて、無限次元系におけるエンタングルメント・オブ・フォーメーションが連続であることを示せるか？

主な発見

• 出力エントロピーが入力状態空間全体で有限であることは、出力エントロピー写像の連続性と同値である。
• 量子操作に対して、PCE性質が成り立つための必要十分条件は、そのKraus作用素の作用素ノルムの二乗和が有限であることである。
• PCE性質が成り立つとき、補完的量子操作のペアの出力エントロピーは、写像と入力状態の両方に関して jointly 連続である。
• チャネルがPCE性質を満たし、最適集合が連続である場合、ホールボ容量はチャネルの関数として連続である。
• 出力エントロピーが連続である限り、無限次元系において有限エントロピーを持つ状態の集合上で、エンタングルメント・オブ・フォーメーションは連続である。
• 任意の有限エントロピーを持つ状態に対して、その切断状態が元の状態のエントロピーと任意に近くなるような有限ランク射影の列が存在する。