[論文レビュー] The partition function of 2d string theory

Robbert Dijkgraaf, Moore, G.+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 1992

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ひとこと要約

本稿は、c=1における2次元ストリング理論におけるタキオン相関関数の生成関数を、コン pact かつ明示的な表現として導出し、それがToda階層のtau関数であり、$W_{\infty}$制約を満たすことを示している。また、Kontsevich-Penner行列積分表現を確立し、分配関数をKPフローおよび$W_{1+\infty}$対称性と結びつけることで、$c<1$モデルに類似した$c=1$ケースにおける長年のギャップを解消した。

ABSTRACT

We derive a compact and explicit expression for the generating functional of all correlation functions of tachyon operators in 2D string theory. This expression makes manifest relations of the $c=1$ system to KP flow and $W_{1+\infty}$ constraints. Moreover we derive a Kontsevich-Penner integral representation of this generating functional.

研究の動機と目的

• c=1ストリング理論の分配関数を理解する上で、c<1モデルで利用可能だった正確かつ明示的な定式化が欠落していたというギャップを埋めること。
• 2次元ストリング理論におけるすべてのタキオン相関関数の生成関数を、摂動論的すべての位で有効である形で導出すること。
• c=1モデルと可積分階層（特にToda階層および$W_{\infty}$対称性）との関係を確立すること。
• c<1モデルと類似したKontsevich-Penner型の行列積分表現を、c=1モデルに構築すること。

提案手法

• 2次元ストリング理論の二重スケーリング行列モデルの定式化を用いて、タキオン相関関数の生成関数を導出する。
• c=1モデルがポテンシャル$V(\lambda)$を持つ自由フェルミオン系と等価であることに基づき、スペクトル密度を用いてマクロなループ振幅を計算する。
• マクロなループ振幅の小$\ell$展開からタキオン相関関数を抽出し、$\ell$の非解析的べき乗をタキオン頂点演算子の挿入と特定する。
• ラプラス変換を用いて固有値密度とループ振幅を関係づけ、フェルミオン波動関数から反射振幅$R_q$を導出する。
• ポテンシャル$V(\lambda)$を変化させることで、反射因子$R_q$に対する$W_{\infty}$型の制約を導出し、$\delta R_q$の微分方程式を導出する。
• Toda階層の構造を介して生成関数を行列積分に写像することにより、分配関数のKontsevich-Penner積分表現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ストリング理論におけるc=1の分配関数を、すべてのタキオン相関関数に対してコン pact かつ明示的な形でどのように表現できるか？
• RQ2 c=1ストリング理論の分配関数の背後にある可積分構造は何か？ そして、Toda階層および$W_{\infty}$対称性とどのように関係しているか？
• RQ3 c<1ストリング理論のものと類似したKontsevich-Penner型の行列積分表現を、c=1モデルに構築できるか？
• RQ4 行列モデルのポテンシャル$V(\lambda)$の変化が反射振幅$R_q$に与える制約は何か？ それらの物理的・数学的意義は何か？

主な発見

• タキオン相関関数の生成関数は明示的に式 (3.10) で与えられ、これはToda階層のtau関数である。
• c=1スカラー$X$が自己双対半径でコンパクト化されているとき、分配関数は$W_{\infty}$フロー方程式を満たす。
• Kontsevich-Penner行列積分表現が導出され、行列モデルを介して非摂動的定式化が可能になった。
• 反射因子$R_q$は、$k \geq -1$について$L_{q,k}R_q = 0$という微分制約を満たし、これは以前の研究で得られた$W_{\infty}$制約と同値である。
• 宇宙定数演算子$T_0$の1点関数は$\langle T_0 \rangle = -i \log R(\mu; V)$で与えられ、真空エネルギーが反射因子と結びついている。
• 2点関数の低エネルギー極限は期待される$q^2$の振る舞いを確認しており、生成関数ゼロ位相での逆伝播関数は$\mu$に依存しない。これはリウヴィル理論の期待と整合的である。