[論文レビュー] The periodic table of $n$-categories for low dimensions II: degenerate tricategories

Eugenia Cheng, Nick Gurski|ArXiv.org|Jun 15, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、周期的表のnカテゴリの低次元における主要な問題を解決するために、退化する三圏の代数的解析を完了した。完全に代数的なモノイド2カテゴリの定義を確立し、三圏 MonBicat を構成した。三重に退化した三圏が可換モノイドの部分的に離散的な三圏と三同値であることを証明した。また、二重に退化した三圏はブレッドモノイド2カテゴリを導くが、Tricat の自然な三圏構造は BrMonCat と直接比較できない。この問題を解消するには、三圏構造を大幅に変更する必要があり、そのうちの一つの修正のみが真の同値性をもたらす。

ABSTRACT

We continue the project begun in ``The periodic table of $n$-categories for low dimensions I'' by examining degenerate tricategories and comparing them with the structures predicted by the Periodic table. For triply degenerate tricategories we exhibit a triequivalence with the partially discrete tricategory of commutative monoids. For the doubly degenerate case we explain how to construct a braided monoidal category from a given doubly degenerate category, but show that this does not induce a straightforward comparison between \bfseries{BrMonCat} and \bfseries{Tricat}. We show how to alter the natural structure of \bfseries{Tricat} in two different ways to provide a comparison, but show that only the more brutal alteration yields an equivalence. Finally we study degenerate tricategories in order to give the first fully algebraic definition of monoidal bicategories and the full tricategory structure \bfseries{MonBicat}.

研究の動機と目的

• nカテゴリの周期的表が予測するように、退化する三圏の代数的特徴付けを完了すること。
• 同値定理や弱構造に依存しない、完全に代数的で弱くない形でのモノイド2カテゴリの定義をすること。
• すべての高次モルフィズムと整合性データを含む、MonBicat という三圏を明示的に構成すること。
• Tricat の三圏構造を変更することで、二重に退化した三圏とブレッドモノイド2カテゴリの不一致を解消すること。
• k-退化nカテゴリとk重モノイド的(n−k)カテゴリの関係を明確にすること、特に三圏の場合に焦点を当てる。

提案手法

• 三重に退化した三圏を分析し、可換モノイドの部分的に離散的な三圏と三同値であることを示した。
• 0セル上の誘導された構造を通じて、二重に退化した三圏からブレッドモノイド2カテゴリを構成した。
• 整合性セルが可逆でないため、Tricat に自然な三圏構造を備えると、BrMonCat と直接比較できないことを特定した。
• 同値性を回復させるために、Tricat の2つの修正版を導入したが、真の三同値性を達成するのはより根本的な変更のみであった。
• 図式的推論と整合性公理（変更と摂動を含む）を用いて、MonBicat の完全な三圏構造を検証した。
• 次元シフト原理を適用し、k-退化nカテゴリを、k個の互換性のあるモノイド構造を持つ(n−k)カテゴリとして再解釈した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重に退化した三圏の正確な代数的構造は何か？また、可換モノイドとはどのように関係するか？
• RQ2 二重に退化した三圏を完全に代数的な方法でブレッドモノイド2カテゴリを定義するために使用できるか？
• RQ3 なぜTricatの自然な三圏構造はBrMonCatと直接比較できないのか？また、この問題をどのように修正できるか？
• RQ4 BrMonCatとの三同値性を達成するために、Tricatにどのような修正が必要か？
• RQ5 同値定理や弱構造に依存せずに、モノイド2カテゴリを代数的に定義する方法は何か？

主な発見

• 三重に退化した三圏は、可換モノイドの部分的に離散的な三圏と三同値である。これは周期的表の予測を確認するものである。
• 二重に退化した三圏は自然にブレッドモノイド2カテゴリを導くが、Tricat の標準的な三圏構造では BrMonCat と直接比較できない。
• BrMonCat と三同値であるのは、整合性セルを完全に可逆にするという大幅に変更されたバージョンの Tricat のみである。
• 本論文は、すべての高次モルフィズムと整合性データを含む、モノイド2カテゴリの初の完全な代数的定義を提供した。
• MonBicat は明示的に構成され、すべての合成法則、変換、変更、摂動が図式的公理によって検証された。
• 分析により、k-退化nカテゴリとk重モノイド的(n−k)カテゴリは関係しているが、ターゲット三圏の構造的調整がなければ同値ではないことが確認された。