[論文レビュー] The Pontrjagin Dual of 3-Dimensional Spin Bordism

G. W. Brumfiel, James P. Morgan|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、3次元スピンバーディズム群 Ω³spin(X) のポントリャーギン双対を、コhomologicalデータとスピン多様体の間の明示的な連続ペアリングを構成することによって計算する。dw + ½p² = 0 を満たす三重組 (w, p, a) に非可換なコンパクトな群構造を導入し、このペアリングが Ω³spin(X) のポントリャーギン双対へ同型を誘導することを証明する。さらに、ペアリング値が ℝ/ℤ に値をとる幾何的公式を、アーサー不変量とスピン構造を用いて提示する。

ABSTRACT

For each space X we define an explicit group, G(X), functorially in X. This group is constructed from the groups of cochains on X. Furthermore, we construct an explicit functorial pairing with values in R/Z between the cochain representatives for elements of G(X) and maps of closed 3-dimensional spin manifolds to X. This pairing induces a pairing between G(X) and the 3-dimensional spin bordism group of X and identifies each with the Pontrjagin dual of the other.

研究の動機と目的

• 空間 X に対して 3次元スピンバーディズム群 Ω³spin(X) のポントリャーギン双対を計算すること。
• 有限群 Γ に対して、Anton Kapustin が提起した Hom(Ω³spin(BΓ), ℝ/ℤ) の構造に関する問題を解明すること。
• コhomologicalデータとスピン3次元多様体の間の幾何的ペアリングを構成し、これがポントリャーギン双対へ同型を誘導すること。
• 特定のコhomological条件を満たす三重組 (w, p, a) に連続な群構造を導入し、双対性を実現すること。

提案手法

• 高次のカップ積と特別なリフトを用いた非可換乗法を用いて、C(X) = (C³(X;ℝ/ℤ)/dC²(X;ℝ/ℤ)) × Z²(X;ℤ/2) × Z¹(X;ℤ/2) にコンパクトな群構造を定義する。
• D: C(X) → C⁴(X;ℝ/ℤ) を D(w,p,a) = dw + ½p² で定義する。これは連続な準同型写像である。
• C′(X) = C¹(X;ℤ/2) × C⁰(X;ℤ/2) に (t,x)·(s,y) = (t+s+xdy, x+y) で定まる乗法を導入し、D′: C′(X) → C(X) を D′(t,x) = ((½)tdt, dt, dx) で定義する。
• D∘D′ = 0 であり、Im(D′) が C(X) の正規部分群で、交換子部分群を含むことを示す。
• G(X) = Ker(D)/Im(D′) を定義し、これはコンパクトなアーベル群への函手である。G(X) × Ω³spin(X) → ℝ/ℤ のペアリングを構成する。
• このペアリングが連続的かつ双線型であり、G(X) と Ω³spin(X) のポントリャーギン双対との間の同型（およびホメオモーティズム）を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 X に対して、3次元スピンバーディズム群 Ω³spin(X) のポントリャーギン双対の構造は何か？
• RQ2 dw + ½p² = 0 というコhomological条件は、Hom(Ω³spin(X), ℝ/ℤ) の元を幾何的に意味のある方法でパrametrizeできるか？
• RQ3 f* a に対するPoincaré双対面 Σf*a のアーサー不変量が、ℝ/ℤ におけるペアリング値にどのように寄与するか？
• RQ4 コhomologicalデータ (w,p,a) に、スピンバーディズムのポントリャーギン双対を実現する連続な群構造が存在するか？
• RQ5 ポントリャーギン平方を含むKapustinの提案式は、コチェインレベルでの完全性を用いて、より単純な式 dw + ½p² = 0 に変換可能か？

主な発見

• dw + ½p² = 0 を満たすコチェイン (w,p,a) をある像で modulo した群 G(X) = Ker(D)/Im(D′) は、Ω³spin(X) のポントリャーギン双対と同型かつホメオモーティズムである。
• G(X) に属する (w,p,a) がスピン3次元多様体 f: M → X に対して与えるペアリング値は、∫[M] f*w + ½[Spin(Z)] + ⅛Arf(Σf*a) ∈ ℝ/ℤ で与えられる。ここで Z は φ: M → S² による正則値の逆像である。
• アーサー不変量 Arf(Σf*a) ∈ ℤ/8 は、M 内に誘導される Pin⁻ 構造を備えた Poincaré双対面 Σf*a ⊂ M のバーディズム不変量である。
• 写像 D′: C′(X) → C(X) の像は C(X) の交換子部分群に含まれるため、G(X) はアーベル群である。
• ℤ/2 係数のコホモロジークラス a ∈ Z¹(X;ℤ/2) を A ∈ C¹(X;ℤ) に特別にリフトすると、dA = 2A² を満たし、ポントリャーギン平方 P(a²) は A⁴ mod 4 で表される。
• 方程式 dw + ½p² = 0 は、恒等式 d(⅛A³) = ¼P(a²) を用いることで、Kapustin の元の式（ポントリャーギン平方を含む）と同値であり、両者の表現を変換可能である。