[論文レビュー] The Principal-Agent Problem With Time Inconsistent Utility Functions

Boualem Djehiche, Peter Helgesson|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時不一致な平均・分散効用関数を有する連続時間のプリンシパルエージェント問題を解くために、確率的最適性原理のアプローチを開発した。最適契約を特徴付けるために、前向き・後ろ向き確率的微分方程式（FBSDE）を用いた。主な貢献は、線形・2次形式の設定において、最適努力および報酬の半陽解を得たことであり、契約が出力情報に適応していることが証明された。

ABSTRACT

In this paper we study a generalization of the continuous time Principal-Agent problem allowing for time inconsistent utility functions, for instance of mean-variance type. Using recent results on the Pontryagin maximum principle for FBSDEs we suggest a method of characterizing optimal contracts for such models. To illustrate this we consider a fully solved explicit example in the linear quadratic setting.

研究の動機と目的

• 古典的動的計画法が失敗する、時間不一致な平均・分散効用関数を有するプリンシパルエージェント問題に対処すること。
• エージェントとプリンシパルの目的が時間に整合しない場合に、最適契約を特徴付ける一般的手法を開発すること。
• 隠れ行動および隠れ契約を伴うプリンシパルエージェント文脈において、FBSDEに拡張された確率的最適性原理を展開すること。
• 線形・2次形式の枠組みで、完全に解ける例を提供し、このアプローチの実行可能性を示すこと。
• 最適契約がプリンシパルの情報集合に適応していることを保証すること、特に出力情報のみが観測可能な場合に注目する。

提案手法

• まず、FBSDEに対するポントレヤーギンの最適性原理を用いてエージェントの問題を解き、双対過程に依存する最適努力を導出する。
• プリンシパルの問題は、FBSDE上での制約付き最適制御問題として定式化され、ハミルトニアンには期待リターンと分散ペナルティが組み込まれている。
• 双対過程の線形アンザッツを用いることで得られる12個の結合されたリカチ方程式の系を解くことで、最適契約を導出する。
• インcentive compatibility（インcentive適合性）および参加制約を満たす条件下で、エージェントの努力とプリンシパルの報酬の共同最適化を実行する。
• モンテカルロシミュレーションを用いてエージェントの期待報酬と分散を推定し、ラグランジュ乗数の数値キャリブレーションを可能にする。
• 結果として得られた最適契約が、出力のフィルトレーションに適応していることが示され、隠れ行動設定との整合性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間不一致な平均・分散効用関数を有するプリンシパルエージェントモデルにおいて、最適契約はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 隠れ行動および隠れ契約を伴うFBSDEに基づくプリンシパルエージェント問題に対して、確率的最適性原理を拡張できるか？
• RQ3 最適契約がプリンシパルの情報集合に適応していることを保証する条件は何か、特に出力のみが観測可能な場合に注目する。
• RQ4 参加制約とインcentive適合性制約を同時に満たすことは、平均・分散設定において可能か？
• RQ5 時間不一致の好みを有する線形・2次形式モデルにおける、最適報酬と努力の構造はどのようなものか？

主な発見

• 最適努力は、$\bar{e}(t) = b p(t) + s(t)$ で与えられ、ここで $p(t)$ は後向きSDEを満たす。
• 最適報酬は、$\bar{s}(t) = \frac{b P_1(t) + (1+b) P_2(t)}{\lambda_P}$ で与えられ、プリンシパルのハミルトニアンおよび双対FBSDEから導出される。
• 双対過程の線形アンザッツを用いることで、全系は12個の結合されたリカチ方程式の系に簡略化され、半陽解が可能になる。
• 最適契約は $\mathbb{F}_x$-適応的であるため、出力過程にのみ依存しており、隠れ行動仮定との整合性が確認された。
• モンテカルロ法による数値シミュレーションにより、ラグランジュ乗数 $\lambda_E$, $\lambda_V$, および $\lambda_P$ の調整によって参加制約を満たすことが確認された。
• パラメータ $a = b = \sigma = 1$, $\alpha = 0.2$, $T = 0.03$ を用いた数値例により、契約ダイナミクスの収束が確認され、解の妥当性が検証された。