[論文レビュー] The projective space has maximal volume among all toric Kähler-Einstein manifolds

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意のトーリックケーラー＝アインシュタイン多様体において、複素射影空間 $\mathbb{P}^n$ が最大体積を達成することを証明し、$c_1(X)^n \leq (n+1)^n$ という予想を裏付ける。証明は背理法であり、体積がより大きいと仮定することで、非常に強いモーザー＝トゥリデージャー不等式が導かれ、それが積分領域上の多複素変数グリーン関数によって破られることを示す。

ABSTRACT

We prove a conjecture saying that complex projective space has maximal volume (degree) among all toric Kaehler-Einstein manifolds of dimension n. The proof is inspired by our recent work on sharp Moser-Trudinger and Brezis-Merle type inequalities for the complex Monge-Ampere operator, but is essentially self-contained.

研究の動機と目的

• トーリックケーラー＝アインシュタイン多様体 $X$ の次元 $n$ に対して、その次数 $c_1(X)^n$ が $(n+1)^n$ 以下であるという予想を確認すること。
• この幾何的体積の上限と、重心に唯一の格子内点を持つ単体的多面体に関するエーリヒャーの予想との間の関係を確立すること。
• 対数終値特異点におけるケーラー＝アインシュタイン計量の存在を仮定することで、特異トーリックファノ多様体への結果の拡張を行うこと。
• トーリックファノ多様体に対応する凸体 $P$ によって、$\mathbb{C}^{*n}$ 上にケーラー＝アインシュタイン計量が存在する条件を一般化すること。

提案手法

• 体積が $(n+1)^n$ を超えると仮定することで、$\Omega \subset \mathbb{C}^n$ 上の $T^n$-不変な正則自己関数に対して、極めて強いモーザー＝トゥリデージャー不等式が導かれる。
• 正則自己関数空間における $T^n$-不変 geodesic に沿った関数 $\mathcal{G}(u)$ の測地的凸性を用いて、最良定数を伴うモーザー＝トゥリデージャー不等式を導出する。
• 単位円板 $D$ を用いて、$\Omega' = \Omega \times D \subset \mathbb{C}^{n+1}$ という積分領域に不等式を拡張し、$T^{n+1}$-不変な正則自己関数の可積分性指数の下界を得る。
• 仮定された不等式が導く下界が、原点に極を持つ $\Omega'$ 上の多複素変数グリーン関数によって破られることを示し、矛盾を導く。
• Prekopa-Leindler 不等式とラプラス変換の技法を用いて、$T^n$-不変の場合の扱いを可能とし、geodesic の滑らかさを保証する。
• 円板上での1次元ブレジス＝メリル不等式を適用し、積分領域における $e^{-u}$ の積分を制御することで、強いモーザー＝トゥリデージャー不等式と組み合わせて矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間 $\mathbb{P}^n$ は、次元 $n$ のすべてのトーリックケーラー＝アインシュタイン多様体の中で最大体積を達成するか？
• RQ2 $\mathbb{P}^n$ が体積の上限を達成するという予想 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$ は、ケーラー＝アインシュタイン計量をもつトーリックファノ多様体に対しても証明可能か？
• RQ3 重心に唯一の格子内点を持つ凸体についてのエーリヒャーの予想は、トーリックファノ多様体に対応するデルツァント多面体に対してどの程度成り立つか？
• RQ4 $\mathbb{C}^{*n}$ 上にケーラー＝アインシュタイン計量が存在するかどうかは、関連する凸体 $P$ の幾何的性質によって特徴付けられるか？
• RQ5 トーリック多様体上のケーラー＝アインシュタイン計量から導かれるモーザー＝トゥリデージャー不等式は、既知の正則自己関数と整合しないほど強すぎるのか？

主な発見

• 本稿は、任意の次元 $n$ の滑らかなトーリックファノ多様体 $X$ がケーラー＝アインシュタイン計量をもつ場合、そのトップ自己交差数 $c_1(X)^n$ が $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$ を満たすことを確認する。
• 最大体積は $X = \mathbb{P}^n$ のときにのみ達成され、このとき $c_1(\mathbb{P}^n)^n = (n+1)^n$ が成り立つ。
• 証明は、体積の上限が破られると仮定することで、極めて強いモーザー＝トゥリデージャー不等式が導かれ、それが $\Omega' = \Omega \times D$ 上の多複素変数グリーン関数によって破られることを示し、矛盾を導く。
• この手法は特異トーリックファノ多様体に対しても拡張可能であり、対数終値特異点におけるケーラー＝アインシュタイン計量の存在を仮定すれば、結果は成り立つ。これは Wang-Zhou の結果を一般化する。
• 新たな特徴付けが得られた：原点を内部に含む有界な凸体 $P$ に対して、その重心が原点であるための必要十分条件は、$\mathbb{R}^n$ 上の凸関数 $\phi$ が存在し、$MA_{\mathbb{R}}(\phi) = e^{-\phi}dx$ を満たし、$\phi$ の勾配像が $P$ であることである。
• この結果は、特にトーリック設定において、アインシュタイン計量の体積推定値であるビショップの推定値を改善し、ファノ指数 $I(X)$ に依存しない形で体積上限を得た。