[論文レビュー] The pullback of a theta divisor to M_{g,n}

Fabian Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内の除数 $\overline{D}_{\underline{d}}$ の類を計算している。この除数は、$\sum d_j x_j$ が有効除数と線形同値であるような点付き曲線 $[C; x_1, \dots, x_n]$ の閉包である。ここで $\sum d_j = g-1$ かつ少なくとも一つの $d_j < 0$ である。ベクトル束の技法、プッシュダウンの議論、テスト曲線を用いて、$\lambda$, $\psi_j$, および境界類 $\delta_{i:S}$ を用いた明示的公式を導出している。ノードを持つ曲線の各成分に負の次数のマークド点が同じ成分上にあるか、異なる成分上にあるかに基づく場合分けが行われる。

ABSTRACT

We compute the class of a divisor on M_{g,n} given as the closure of the locus of smooth pointed curves [C; x_1,..., x_n] for which \sum d_j x_j has an effective representative, where d_j are integers summing up to g-1, not all positive. The techniques used are a vector bundle computation, a pushdown argument reducing the number of marked points, and the method of test curves.

研究の動機と目的

• 点付き曲線 $[C; x_1, \dots, x_n]$ のうち、$\sum d_j x_j$ が有効除数と線形同値であるようなものの閉包 $\overline{D}_{\underline{d}}$ の類を計算すること。ここで $\sum d_j = g-1$ かつ少なくとも一つの $d_j < 0$ である。
• 普遍シータ除数の引き戻しを用いて、ジャコビアンにおける古典的シータ除数理論を、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ に拡張すること。
• ノード曲線の各成分に分布する負の次数のマークド点の配置に基づいて場合分けを行う、$\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 内の除数類に対する一様な公式を提供すること。
• 特殊ケース（例えば、ワイエルシュトラス除数やロガンの除数）の既知の結果を、同一の枠組みで統一的に一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、除数類における $\lambda$ および $\psi_j$ の係数を決定するために、ベクトル束の計算を用いる。
• マークド点の数を減らすために、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ から $\overline{\mathcal{M}}_{g,n-1}$ への忘却写像を用いたプッシュダウンの議論を適用する。
• 境界類 $\delta_{i:S}$ の係数を計算するために、マークド点に負の次数が存在する場合に、それが同じ成分上にあるか、異なる成分上にあるかに応じたテスト曲線族を構成する。
• 境界成分を二種類に区別する：すべての負の次数の点が一つの成分上にある場合（$S \subseteq S_+$）と、複数の成分に分散している場合（$S \not\subseteq S_+$）。
• 主な公式は、テスト曲線の結果とプッシュダウンの不変性を組み合わせることで得られ、$\binom{|d_S - i| + 1}{2}$ の形をした二項係数を含む区分的表現となる。
• 証明は帰納法を用い、低 genus または低マークド点数のケース（例：$n=3,4$）に還元する。既知の文献の結果を基底ケースとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形同値性 $\sum d_j x_j \sim D$（$D$ は有効除数）を満たす点付き曲線の閉包 $\overline{D}_{\underline{d}}$ が、$\sum d_j = g-1$ かつ少なくとも一つの $d_j < 0$ のもとで定義されるとき、$\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 内でのその類は何か？
• RQ2 ノード曲線の各成分に分布する負の次数のマークド点の配置に応じて、除数類における境界類 $\delta_{i:S}$ の係数はどのように変化するか？
• RQ3 ワイエルシュトラス除数やロガンの除数の類は、$\overline{D}_{\underline{d}}$ の一様な公式の特殊ケースとして回復可能か？
• RQ4 プッシュダウン技法は、マークド点の数を減らしつつ、除数類の情報を保持するのに果たす役割は何か？

主な発見

• 除数 $\overline{D}_{\underline{d}}$ の類は、$[\overline{D}_{\underline{d}}] = -\lambda + \sum_{j=1}^n \binom{d_j + 1}{2} \psi_j - 0 \cdot \delta_0 - \sum_{\substack{i,S \\ S \subseteq S_+}} \binom{|d_S - i| + 1}{2} \delta_{i:S} - \sum_{\substack{i,S \\ S \not\subseteq S_+}} \binom{d_S - i + 1}{2} \delta_{i:S}$ で与えられる。ここで $S_+ = \{j \mid d_j > 0\}$ である。
• $\delta_0$ の係数が 0 であることは、この除数が単一のノードを持つ滑らかでない曲線をパラメトライズする境界成分を含まないことを示している。
• $S \subseteq S_+$ の場合、$\delta_{i:S}$ の係数は $-\binom{|d_S - i| + 1}{2}$ である。これは、すべての負の次数の点が一つの成分上にある場合の寄与を反映している。
• $S \not\subseteq S_+$ の場合、係数は $-\binom{d_S - i + 1}{2}$ である。これは、負の次数の点が複数の成分に分散している場合の寄与を考慮している。
• この公式は既知の結果を回復する：$\underline{d} = (d_1, \dots, d_{n-1}; -1)$ のとき、これはロガンの除数類に簡約される。$n=2$ のとき、キューキェルマンのワイエルシュトラス除数類の計算と一致する。
• この結果はハインおよびグルシェフスキー＝ザハロフの研究と整合しており、除数 $\overline{D}_{\underline{d}}$ が、別の準同型写像によるシータ除数の引き戻しの成分であることが示されている。その重複度は、零点の位数によって決定される。