[論文レビュー] The quantization of a black hole

Claus Gerhardt|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、反ド・ジッター（AdS）ブラックホールの量子重力モデルを提案する。このモデルは、量子時空多様体上の波動方程式を用い、解が定常的（放射に類似）および時間的（重力波に類似）な固有関数に分離されることを特徴としている。主な結果として、事象の地平線が通過可能なコーシー超曲面として機能し、因果的曲線が両方向に通過可能であるため、情報の損失なしにブラックホール情報パラドックスが解決される。

ABSTRACT

We apply our model of quantum gravity to an AdS black hole resulting in a wave equation in a quantum spacetime which has a sequence of solutions that can be expressed as a product of stationary and temporal eigenfunctions. The stationary eigenfunctions can be interpreted as radiation and the temporal as gravitational waves. The event horizon corresponds in the quantum model to a Cauchy hypersurface that can be crossed by causal curves in both directions such that the information paradox does not occur.

研究の動機と目的

• 反ド・ジッター（AdS）時空におけるブラックホール情報パラドックスを、新たな量子化フレームワークを用いて解決すること。
• ブラックホールの事象の地平線を量子時空におけるコーシー超曲面として扱うことで、ブラックホールの量子的挙動をモデル化すること。
• 因果的曲線が事象の地平線を両方向に通過できることを示し、情報の損失を防ぐこと。
• 時間的固有値方程式の対称的解を用いて、曲率特異点を越えた一貫した量子的進化を確立すること。
• 量子時空構造における変数分離を用いて、重力波モードと放射モードを統合すること。

提案手法

• モデルは、時空多様体 $ Q = \mathcal{S}_0 \times (0,\infty) $ 上の波動方程式を用いる。ここで $ \mathcal{S}_0 $ は、誘導計量 $ ds^2 = d\tau^2 + r^2 \sigma_{ij}dx^i dx^j $ を持つコーシー超曲面であり、ブラックホール領域を表す。
• 波動方程式には負の宇宙定数 $ \varLambda < 0 $、$ \mathcal{S}_0 $ 上の計量に関するラプラシアン、およびスカラー曲率 $ R $ やリッチ曲率 $ \tilde{\kappa} $ を含む曲率項が含まれる。
• 変数分離が適用され、解が $ u(t,x) = w_i(t) v_j(x) $ の形に分解される。ここで $ v_j $ は定常的固有関数、$ w_i $ は時間的固有関数である。
• 時間的固有値問題は $ -\frac{1}{32}\frac{n^2}{n-1}\ddot{w} + n|\varLambda| t^2 w = \lambda t^{2-\frac{4}{n}} w $ として定式化され、有限エネルギーを持つ完全な固有関数列が得られる。
• $ \tau $-方向における調和振動子構造により、固有関数 $ v_j(\tau,x) = \zeta(\tau)\varphi_j(x) $ の明示的構成が可能であり、ここで $ \zeta $ は $ -\ddot{\zeta} = r_0^{-2} \omega^2 \zeta $ を満たす。
• 時間的および定常的固有値が $ \lambda_i = (n-1)r_0^{-2}\omega_{ij}^2 + \hat{\mu}_j $ により一致することを保証し、グローバルに滑らかでエネルギーが有界な解 $ u_{ij} = w_i \zeta_{ij} \varphi_j $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホールの事象の地平線を、量子時空モデルにおいて一貫してコーシー超曲面として取り扱うことは可能か？
• RQ2 提案された量子重力モデルは、因果的曲線が事象の地平線を両方向に通過できることを保証するか？ これにより情報の損失は回避されるか？
• RQ3 量子時空上の波動方程式は、放射に類似した（定常的）および重力波に類似した（時間的）モードに分離可能な解を生じるか？
• RQ4 量子モデルは、特に $ t=0 $ における曲率特異点をどのように扱うか？ そして、特異点を越えて進化を拡張できるか？
• RQ5 量子モデルにおいて、ブラックホールからホワイトホールへの自然な遷移が存在するか？ また、対称性とユニタリティは保たれるか？

主な発見

• 事象の地平線は、量子時空 $ Q $ におけるコーシー超曲面 $ \{t=1\} $ に対応し、因果的曲線が両方向に通過可能であるため、情報パラドックスが解消される。
• 波動方程式の解は $ u_{ij} = w_i \zeta_{ij} \varphi_j $ の形に構成され、$ w_i $ と $ \zeta_{ij} $ はそれぞれ時間的および調和振動子固有値問題を満たす。
• 時間的固有関数 $ w_i $ は $ \lim_{t\to 0} w_{ij}(t) = \lim_{t\to\infty} w_{ij}(t) = 0 $ を満たし、有限エネルギーかつ特異点で減衰することを示す。
• 時間的固有値方程式の拡張解 $ w $ は反対称である：$ w(-t) = -w(t) $ であり、ブラックホールからホワイトホールへの自然な遷移を可能にする。
• 量子モデルにより、$ t=0 $ における曲率特異点への量子ローレンツ距離が有限であることが保証されるが、時空そのものは特異的である。
• $ j=0 $ かつ $ \tilde{\kappa} \neq -1 $ の場合、すべての $ i \geq 0 $ に対して周波数 $ \omega_{i0} > 0 $ であるため、最低準位モードに非自明な力学的挙動が保証される。