[論文レビュー] The quot functor of a quasi-coherent sheaf

Gennaro Di Brino|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、射影的スキーム上の擬体層のQuot函手を表す無限次元的スキームを構成し、可換体層の古典的Quotスキームを可換でない場合へ拡張する。デリーニの擬体層の有限生成的擬体層へのind-対象による表現と、グレイスマンニアンのフィルタリング帰納的極限構成を組み合わせることで、Quot函手の代表可能性を証明し、一様に正則な体層に対して大規模なグレイスマンニアン埋め込みを確立する。

ABSTRACT

We build an infinite dimensional scheme parametrizing isomorphism classes of coherent quotients of a quasi-coherent sheaf on a projective scheme. The main tool to achieve the construction is a version of Grothendieck's Grassmannian embedding combined with a result of Deligne, realizing quasi-coherent sheaves as ind-objects in the category of quasi-coherent sheaves of finite presentation. We end our treatment with the discussion of a special case in which we can retain an analog of the Grassmannian embedding.

研究の動機と目的

• 射影的スキーム上の可換体層から擬体層への古典的Quotスキーム構成の拡張。
• 体層が可換でない場合のQuot函手の代表可能性という未解決問題の解消。
• フィルタリング帰納的極限を用いた無限次元的設定への古典的グレイスマンニアン埋め込みの一般化。
• 無限次元的Quotスキームがスキーム的グレイスマンニアンへの擬閉埋め込みを許容する条件の特定。

提案手法

• 擬体的、擬コンパクトなスキーム上の擬体層が、有限生成的擬体層へのind-対象と同値であるというデリーニの定理を用いる。
• 有限型グレイスマンニアンの部分スキーム間のアフィン準同型の射影極限を通じて、射影的開部分スキームのフィルタリング帰納的極限としてスキーム的グレイスマンニアンを構成する。
• 古典的Quotスキームの開部分スキームとアフィン準同型の射影極限として得られるスキームのフィルタリング帰納的極限としてQuot函手を表現する。
• ind-pro原理を適用して、有限次元的Quotスキームの極限として無限次元的Quotスキームを構成する。
• すべての可換近似がCastelnuovo-Mumford正則性がmで有界であるような一様にm-正則な擬体層の概念を導入する。
• フィルタリング構造と整合するように、グローバルセクションの直和極限のグレイスマンニアンへの擬閉埋め込みを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体層が可換でない場合でも、体層が射影的スキーム上の擬体層であるとき、Quot函手はスキームによって代表可能か？
• RQ2 無限次元的設定におけるQuotスキームの古典的グレイスマンニアン埋め込みの一般化は存在するか？
• RQ3 擬体層にどのような条件下で、Quotスキームがスキーム的グレイスマンニアンへの閉埋め込みを許容するか？
• RQ4 擬体層のind-対象構造をどのようにして、フィルタリング帰納的極限としてQuotスキームを構成できるか？
• RQ5 Castelnuovo-Mumford正則性は、擬体層に対するQuotスキームの幾何を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 体層が体上の射影的スキーム上の擬体層であるとき、そのQuot函手はスキームによって代表可能であり、グローテンディークの可換体層の場合の結果を一般化する。
• Quotスキームは、古典的Quotスキームの開部分スキームとアフィン準同型の射影極限として得られるスキームのフィルタリング帰納的極限として構成される。
• 擬体層の局所自由商のスキーム的グレイスマンニアンは、擬コンパクトな開部分スキームのフィルタリング帰納的極限として示される。
• 一様にm-正則な擬体層に対して、そのQuotスキームは、体層のねじれ層のグローバルセクションの直和極限のグレイスマンニアンへの擬閉埋め込みが存在する。
• 埋め込みは、フィルタリング系の成分間の閉埋め込みの極限として実現され、ind-pro構造を保存する。
• ヒルベルト多項式が定数1である特別な場合、構成は古典的プロジェクト型バンドルを回復し、Quotスキームを体層の射影化と同定する。