[論文レビュー] The relative tensor product and a minimal fiber product in the setting of $C^{*}$-algebras

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、C*-双モジュールの相対的テンソル積とC*-代数の空間的ファイバー積を導入し、von Neumann代数におけるConnesの融合とSauvageotのファイバー積をC*-代数の設定に一般化する。ヒルベルト空間の相対的テンソル積とL²空間のファイバーごとのテンソル積とのユニタリ同値性を確立し、ファイバー積を強い*連続なファイバーごとの作用を持つ有界関数のC*-代数として特徴づけ、一般には代数的テンソル積を真に含むことを証明する。

ABSTRACT

We introduce a relative tensor product of $C^{*}$-modules and a spatial fiber product of $C^{*}$-algebras that are analogues of Connes' fusion of correspondences and the fiber product of von Neumann algebras introduced by Sauvageot, respectively, and study their categorical properties. These constructions form the basis for our approach to quantum groupoids in the setting of $C^{*}$-algebras that is published separately.

研究の動機と目的

• von Neumann代数におけるConnesの融合をC*-設定に一般化するC*-双モジュールの相対的テンソル積を構築すること。
• 共通のC*-部分代数に関して、C*-代数の空間的ファイバー積を定義し、Sauvageotの構成をC*-代数に拡張すること。
• 量子群oidsのC*-代数設定における基礎的枠組みを提供し、従来の手法の限界を克服すること。
• ファイバー積を、強い*連続なファイバーごとの作用を持つ有界関数のC*-代数として特徴づけ、代数的テンソル積とは区別すること。

提案手法

• 基盤となるC*-代数上の可測なヒルベルト空間の族を用いて、新たなクラスのC*-双モジュールを導入し、ファイバーごとのテンソル積構成を可能にする。
• 基盤上での代数的テンソル積の完備化を用いて、ヒルベルトC*-モジュールの相対的テンソル積を定義し、ファイバーごとのテンソル積への分解を用いる。
• 二重モジュール表現における相対的テンソル積の可換子として、空間的ファイバー積 $ A times_{eta}^{lat} B $ を構成する。
• 相対的テンソル積 $ H times_{eta}^{lat} K $ とファイバー積空間 $ X imes_Z Y $ 上のL²空間とのユニタリ同値性を確立する。
• Radon測度とファイバーごとの積分を用いて、ファイバー積空間 $ X imes_Z Y $ 上の測度 $ \nu $ を定義し、モジュール構造と整合性を持つようにする。
• ファイバーごとの写像に強い*連続性の条件を適用し、ファイバー積代数を代数的テンソル積の真の上位集合として特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Connesの対応の融合をC*-代数の設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 von Neumann代数におけるSauvageotのファイバー積のC*-代数設定における正しい類似物は何か？
• RQ3 量子群oidsの乗法構造を捉えることができるC*-双モジュールの相対的テンソル積を定義できるか？
• RQ4 一般に、C*-代数の空間的ファイバー積は代数的テンソル積を真に含むか？
• RQ5 ファイバー積空間上の関数が空間的ファイバー積代数に属するための条件は何か？

主な発見

• 測度 $ \nu $ がファイバーごとの積測度であるとき、相対的テンソル積 $ H times_{eta}^{lat} K $ とL²空間 $ L^2(X imes_Z Y, \nu) $ とのユニタリ同値性が確立された。
• 空間的ファイバー積 $ C_0(X) times_{eta}^{lat} C_0(Y) $ は、ファイバーごとの制限が強い*連続でかつ無限遠で消える有界関数のC*-代数に同型である。
• 離散的状況で $ Z = \{0\} $ のとき、ファイバー積は、すべての $ x, y $ に対して $ f(x, \cdot) \in C_0(Y) $ かつ $ f(\cdot, y) \in C_0(X) $ を満たす有界関数 $ f \in C_b(X \times Y) $ の空間に同型である。
• $ X = \mathbb{N} $、$ Y = [0,1] $、$ Z = \{0\} $ のとき、ファイバー積は、$ f(x, \cdot) \in C_0(Y) $ かつ族 $ (f(x, \cdot))_x $ が $ \mathcal{L}(L^2(Y)) $ 内で強く0に収束する関数 $ f \in C_b(\mathbb{N} \times Y) $ からなる。
• $ [0,1] \times [0,1] $ 上で $ f(x,y) = \chi_{\{y \leq x\}} $ である関数は、ファイバー積 $ C([0,1]) \rtimes_{\beta}^{lat} C([0,1]) $ に属し、ファイバー積が代数的テンソル積 $ C([0,1]) \otimes C([0,1]) $ を真に含むことを示している。