[論文レビュー] Coactions of Hopf C*-bimodules

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホップ $C^*$-代数の作用と群ガロアの作用を一般化する統一的な枠組みとして、ホップ $C^*$-バイモジュールの作用を導入する。$C^*$-擬・カス系を用いて、縮小クロスタード積を構成し、細かい作用に関して双対性定理を確立し、細かい作用の二重双対が元の作用とモラータ同値であることを示す。主な貢献は、エタール群ガロア上の連続フェルバンドルとその縮小群ガロア $C^*$-代数の作用との間のカテゴリカル双対性の確立である。

ABSTRACT

Coactions of Hopf C*-bimodules simultaneously generalize coactions of Hopf C*-algebras and actions of groupoids. Following an approach of Baaj and Skandalis, we construct reduced crossed products and establish a duality for fine coactions. Examples of coactions arise from Fell bundles on groupoids and actions of a groupoid on bundles of C*-algebras. Continuous Fell bundles on an etale groupoid correspond to coactions of the reduced groupoid algebra, and actions of a groupoid on a continuous bundle of C*-algebras correspond to coactions of the function algebra.

研究の動機と目的

• ホップ $C^*$-代数のコアクションと群ガロアの作用を両方一般化するホップ $C^*$-バイモジュールの作用の統一的枠組みを構築すること。
• $C^*$-擬・カス系を用いて、縮小クロスタード積と双対コアクションを構成し、バージとスカンドリスの双対性理論を拡張すること。
• エタール群ガロア上の連続フェルバンドルとその縮小群ガロア $C^*$-代数のコアクションとの間のカテゴリカル双対性を確立すること。
• 群ガロアがエタールであるとき、縮小群ガロア $C^*$-代数のすべての細かいコアクションが連続フェルバンドルから生じることを示すこと。

提案手法

• $C^*$-モジュールの相対的テンソル積と、$C^*$-ベース上の $C^*$-代数のファイバー積を用いて、ホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションを定義する。
• $C^*$-擬・カス系（$C^*$-擬・乗法的ユニタリと対称性から成る）を用いて、縮小クロスタード積と双対コアクションを構成する。
• KSGNS構成と内部テンソル積構造を用いて、ベース代数上のヒルベルト $C^*$-モジュール構造を定義する。
• 双対コアクション構成を用いて、細かいコアクションの二重双対と元のコアクションとの間のモラータ同値性を確立する。
• 局所コンパクトハウスドルフ群ガロアから $C^*$-擬・カス系を構成し、2つの双対的ホップ $C^*$-バイモジュール（関数代数と縮小群ガロア $C^*$-代数）を導出する。
• 自然変換と圏論的道具を用いて、フェルバンドルからコアクションへの写像が、全かつコリフレクティブな部分圏を定める、と証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションは、どのように定義すれば、ホップ $C^*$-代数のコアクションと群ガロアの作用を同時に一般化できるか？
• RQ2 ホップ $C^*$-バイモジュールの細かいコアクションに対する縮小クロスタード積と双対コアクションの構造はどのようなものか？
• RQ3 エタール群ガロア上の連続フェルバンドルとその縮小群ガロア $C^*$-代数のコアクションとの関係は何か？
• RQ4 群ガロアがエタールであるとき、縮小群ガロア $C^*$-代数のすべての細かいコアクションが連続フェルバンドルから生じるか？
• RQ5 連続フェルバンドルの圏と縮小群ガロア $C^*$-代数のコアクションの圏との間のカテゴリカル関係は何か？

主な発見

• ホップ $C^*$-バイモジュールの細かいコアクションの二重双対は、元のコアクションとモラータ同値であり、双対性の結果を確立する。
• 群ガロア $G$ のすべての作用は、連続 $C^*$-代数バンドル上に、関数代数 $C_0(G^{(0)})$ の細かいコアクションに対応する。
• 局所コンパクトハウスドルフ群ガロア $G$ 上の連続フェルバンドルは、すべて、縮小群ガロア $C^*$-代数 $C^*_r(G)$ のコアクションを生じる。
• エタール群ガロア $G$ に対して、$C^*_r(G)$ のすべての非常に細かいコアクションは、$G$ 上の連続フェルバンドルから生じる。これは、群に対するキッグとバージ・スカンドリスの結果を群ガロアへ一般化する。
• フェルバンドルからコアクションへの写像は、全かつコリフレクティブな部分圏埋め込みを定め、関連する関手間に自然同型が存在する。
• 群ガロアから $C^*$-擬・カス系を構成することで、2つの双対的ホップ $C^*$-バイモジュール $C_0(G^{(0)})$ と $C^*_r(G)$ が得られ、適切な意味で双対的である。