[論文レビュー] The reverse order law for Moore-Penrose inverses of operators on Hilbert C*-modules

Kamran Sharifi, Behnaz Ahmadi Bonakdar|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト C*-加群上の有界自己随伴作用素のムーア・ペンローズ逆行列に関して、逆順序則 $(TS)^{\dagger} = S^\dagger T^\dagger$ が成り立つための必要十分条件を確立する。主な結果は、等式が成り立つのは、$\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ および $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ であるときに限ることを示しており、これは非可換作用素設定におけるグレヴィルの行列結果を一般化するものである。

ABSTRACT

Suppose $T$ and $S$ are bounded adjointable operators between Hilbert C*-modules admitting bounded Moore-Penrose inverse operators. Some necessary and sufficient conditions are given for the reverse order law $(TS)^{ †} =S^{ †} T^{ †}$ to hold. In particular, we show that the equality holds if and only if $Ran(T^{\ast}TS) \subseteq Ran(S)$ and $Ran(SS^{\ast}T^{\ast}) \subseteq Ran(T^{\ast}),$ which was studied first by Greville [{\it SIAM Rev. 8 (1966) 518--521}] for matrices.

研究の動機と目的

• ヒルベルト C*-加群上の有界自己随伴作用素に対して、グレヴィルの行列に関する逆順序則を一般化すること。
• 非可換なヒルベルト C*-加群の設定において、$(TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger$ が成り立つための必要十分条件を同定すること。
• ヒルベルト C*-加群では直交補空間や標準ヒルベルト空間の性質が欠落していることに対応し、範囲および核の包含関係を用いてムーア・ペンローズ逆行列を特徴付けること。
• 文献[17]で提示された、モジュラー作用素に関する逆順序則に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• ヒルベルト C*-加群の核および範囲成分への直交分解に基づく作用素の行列表現を利用する。
• ムーア・ペンローズ逆行列の四つの定義方程式：$TXT=T$、$XTX=X$、$(TX)^*=TX$、$(XT)^*=XT$ を用いた特徴付けを適用する。
• シュウとシャンが確立した、閉じた範囲と有界なムーア・ペンローズ逆行列の存在の同倣を用いる。
• 分解 $T = T_1 \oplus T_2$、$S = S_1 \oplus S_2$ を用い、$T_2$、$S_2$ を核成分として表すことで、作用素の条件を範囲および核の包含関係に翻訳する。
• 特に $[T_1T_1^*, D^{-1}] = 0$ および $T_2T_2^*T_1 = 0$ のようなコンmutatorの恒等式と射影を用いて、$T^\dagger S^\dagger$ の構造を分析する。
• 逆順序則と二つの範囲包含条件、すなわち $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ および $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ の間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト C*-加群上の有界自己随伴作用素に対して、逆順序則 $(TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger$ が成り立つのはどのような条件下か？
• RQ2 標準ヒルベルト空間の性質が欠落するヒルベルト C*-加群の設定において、グレヴィルの行列に関する逆順序則の結果をどのように一般化できるか？
• RQ3 非可換作用素代数における作用素の積のムーア・ペンローズ逆行列を特徴付ける際に、範囲および核の包含関係が果たす役割は何か？
• RQ4 ヒルベルト C*-加群の枠組みにおいて、逆順序則を射影およびコンミュータの観点から同値に再定式化できるか？
• RQ5 特に直交分解の観点から、ヒルベルト C*-加群におけるムーア・ペンローズ逆行列の性質は、ヒルベルト空間におけるものとどのように異なるか？

主な発見

• 逆順序則 $(TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger$ が成り立つのは、$\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ および $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ であるときに限る。
• 行列分解および射影解析を用いて、逆順序則と二つの中間的条件、$(TS)^\dagger TS = S^\dagger T^\dagger TS$ および $TSS^\ast T^\dagger T = TSS^\ast$ の間の同値性が確立された。
• 条件 $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ は、$T^*TS$ の作用が $S$ の範囲内にあることを保証し、これは積の逆行列が正しく因数分解されるために不可欠である。
• 条件 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ は、$T^*$ の共役と積 $SS^*T^*$ の間の整合性を保証し、逆行列の構造を維持する。
• 証明は、作用素を範囲および核成分に分解し、それらに対応する行列ブロックを分析することに依拠しており、特に $T_2T_2^*T_1 = 0$ が範囲包含関係と同値であることを示している。
• この結果は、グレヴィルの1966年の行列結果をヒルベルト C*-加群へと一般化し、非可換作用素設定においても、同一の範囲包含条件が必要かつ十分であることを確認している。