[論文レビュー] The Schmidt number and partially entanglement breaking channels in infinite dimensions

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

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ひとこと要約

本稿は、シュミット数と部分的エンタングルメントブレイキングチャネルを無限次元量子系へ一般化し、非可算分解可能な状態を取り扱うために、本質的上界を用いた測度論的定義によるシュミット数の定式化を導入する。主な貢献は、有限シュミット数をもつが、有限シュミットランクの純粋状態の凸結合に分解できない状態の存在を示し、また無限次元におけるエンタングルメントブレイキングチャネルが、有限次元の直観に反して無限ランクのクラウス演算子を必要とすることを示したことである。

ABSTRACT

A definition of the Schmidt number of a state of an infinite dimensional bipartite quantum system is given and properties of the corresponding family of Schmidt classes are considered. The existence of states with a given Schmidt number such that any their countable convex decomposition does not contain pure states with finite Schmidt rank is established. Partially entanglement breaking channels in infinite dimensions are studied. Several properties of these channels well known in finite dimensions are generalized to the infinite dimensional case. At the same time, the existence of partially entanglement breaking channels (in particular, entanglement breaking channels) such that all operators in any their Kraus representations have infinite rank is proved.

研究の動機と目的

• 有限次元から無限次元の双粒子量子系へのシュミット数の概念の拡張を目的とする。
• 非可算分解可能な分離状態のため、有限次元定義の不適切さを是正すること。
• 無限次元における部分的エンタングルメントブレイキングチャネルの特徴づけを行い、有限次元の性質を一般化すること。
• 特にクラウス演算子のランクに注目して、このようなチャネルのクラウス表現の構造を調査すること。
• 有限シュミット数をもつが、有限シュミットランクの純粋状態の凸結合に分解できない状態の存在を示すこと。

提案手法

• スペクトル測度に関するシュミット係数の本質的上界を用いた連続的で測度論的なシュミット数の定義を提案する。
• シュミットランク ≤ k である純粋状態の凸包としてシュミットクラスを定義し、それがシュミット数 ≤ k をもつ状態の集合と等価であることを示す。
• k-正の写像によるシュミットクラスの特徴づけを行い、[18]の有限次元結果を一般化する。
• バーゲン表現を用いて、シュミットクラスの順序kに属する任意の状態が、シュミットランク ≤ k である純粋状態に台を持つ確率測度の重心であることを示す。
• 有限シュミット数をもつが、いかなる可算凸結合にも有限シュミットランクの純粋状態を含まない状態の具体例を構成する。
• ユニタリ拡大と連続ユニタリ群への平均化技術を用いて、すべてのクラウス演算子が無限ランクである無限次元におけるエンタングルメントブレイキングチャネルの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な凸分解が失敗する状況において、シュミット数を無限次元双粒子量子状態へ一貫的に一般化する方法は何か？
• RQ2 無限次元におけるシュミットクラスは、依然として有界シュミットランクの純粋状態の凸包と一致するか？
• RQ3 シュミットクラスをk-正の写像によって特徴づける方法は、無限次元へ拡張可能か？
• RQ4 有限シュミット数をもつが、有限シュミットランクの純粋状態の凸結合として書けない状態は存在するか？
• RQ5 無限次元におけるエンタングルメントブレイキングチャネルのクラウス演算子が無限ランクをとる可能性はあり、それは有限次元の場合とどのように異なるか？

主な発見

• 無限次元におけるシュミット数は、シュミット係数の本質的上界を用いた厳密な定義により定義され、有限シュミットランクの純粋状態の凸包と整合的であることが保証される。
• 無限次元における順序kのシュミットクラスは、シュミットランク ≤ k である純粋状態の凸包と一致し、有限次元の結果を一般化する。
• シュミット数 ≤ k をもつ状態の集合はk-正の写像によって特徴づけられ、[18]の定理1を無限次元へ拡張する。
• 有限シュミット数kをもつ状態が存在し、そのような状態のいかなる可算凸分解にも、有限シュミットランクの純粋状態が含まれない。
• 無限次元における部分的エンタングルメントブレイキングチャネルは、すべてのクラウス演算子が無限ランクをとる可能性があり、有限次元の直観とは対照的に、このようなチャネルが有界ランクの演算子によって生成されるとの仮定に反する。
• 無限次元におけるエンタングルメントブレイキングチャネルは、すべてのクラウス演算子が無限ランクである表現を有し、これは有限次元の場合とは根本的に異なる構造的性質を示している。