[論文レビュー] The simplicity of the first spectral radius of a meromorphic map

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなカーラー多様体上のメロモルフィック写像 $f$ の最初のスペクトル半径 $\lambda_1(f)$ が条件 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ の下で単純固有値であることを確立する。これは $H^{1,1}(X)$ 上での $f^*$ の単純固有値であり、絶対値が $\sqrt{\lambda_2(f)}$ よりも大きい唯一の固有値である。この結果は、特性がゼロの代数閉体上での代数的設定へと拡張され、3次元多様体上のビメルモーフィック写像や擬自動同型への応用を伴う。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler manifold and let $f:X ightarrow X$ be a dominant rational map which is 1-stable. Let $λ_1$ and $λ_2$ be the first and second dynamical degrees of $f$. If $λ_1^2>λ_2$, then we show that $λ_1$ is a simple eigenvalue of $f^*:H^{1,1}(X) ightarrow H^{1,1}(X)$, and moreover the unique eigenvalue of modulus $>\sqrt{λ_2}$. A variant of the result, where we consider the first spectral radius in the case the map $f$ may not be 1-stable, is also given. An application is stated for bimeromorphic selfmaps of 3-folds. In the last section of the paper, we prove analogs of the above results in the algebraic setting, where $X$ is a projective manifold over an algebraic closed field of characteristic zero, and $f:X ightarrow X$ is a rational map. Part of the section is devoted to defining dynamical degrees in the algebraic setting. We stress that here the dynamical degrees of rational maps can be defined over any algebraic closed field, not necessarily of characteristic zero.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー多様体上の支配的メロモルフィック写像 $f$ の最初のスペクトル半径 $\lambda_1(f)$ が条件 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ の下で単純固有値であることを確立すること。
• 1-安定でない場合にも、コホロロジーにおけるpsefクラスの保存を用いて、スペクトル単純性の結果を拡張すること。
• 特性がゼロの代数閉体上での代数的設定へ、動的次数理論およびスペクトル結果を拡張すること。
• $\lambda_1(f)^n$ の項と指数的に小さい誤差項を伴う、次数の成長に関する基準を提示すること。
• 特に $\lambda_1(f) > 1$ を満たす擬自動同型を含む、3次元多様体上のビメルモーフィック写像への結果の応用。

提案手法

• コホロロジークラスの構造を $H^{1,1}(X)$ 上で分析するために、ホッジ指数定理（ホッジ＝ライマンの双一次関係）を用いる。
• 有理写像の基本的領域を滑らかな中心に沿ったブ lows-up を用いて解消するため、ヒロナカの不確定性の消去を適用する。
• ブローアップのためのプッシュプル公式を用いて、解消前後の $N^1_{\mathbb{R}}(X)$ 上での $f^*$ の作用を関連付ける。
• 動的次数の対数的凹性と、psef保存の下でのスペクトル半径不等式 $r_1(f)^2 \geq r_2(f)$ に依存する。
• ネロン＝ターテの高さと交差理論を用いて、解析的技法をカーラー設定から代数的設定へ適応する。
• 同一多様体の異なるモデル上の写像を比較するため、動的次数の被約不変性（補題13を介して）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、最初のスペクトル半径 $\lambda_1(f)$ が $H^{1,1}(X)$ 上での $f^*$ の単純固有値となるか？
• RQ2 $f^*$ が $H^{2,2}(X)$ 上のpsef錐を保存する場合、1-安定でない写像に対してもスペクトル単純性の結果を拡張できるか？
• RQ3 $f^*$ の $H^{1,1}(X)$ 上でのスペクトル性質は、$f^n$ の次数の成長とどのように関係するか？
• RQ4 特性がゼロの代数閉体上での代数的設定において、スペクトル単純性の結果の類似物は何か？
• RQ5 結果は、特に $\lambda_1(f) > 1$ を満たす3次元多様体上のビメルモーフィック写像、特に擬自動同型の力学的性質の分類に応用可能か？

主な発見

• $f$ が1-安定でかつ $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ ならば、$\lambda_1(f)$ は $f^*: H^{1,1}(X) \to H^{1,1}(X)$ の単純固有値である。
• 同じ条件下で、$\lambda_1(f)$ は $H^{1,1}(X)$ 上での $f^*$ の固有値の中で、絶対値が $\sqrt{\lambda_2(f)}$ よりも大きい唯一の固有値である。
• 3次元多様体上のビメルモーフィック写像で $\lambda_1(f) > 1$ の場合、$f$ または $f^{-1}$ のいずれかがスペクトル単純性条件を満たす。
• $f^n$ の次数成長は、ある $c > 0$ と $\tau < \lambda_1(f)$ に対して $\deg(f^n) = c\lambda_1(f)^n + O(\tau^n)$ を満たす。
• 特性がゼロの代数閉体上での代数的設定において、$\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ ならば、$N^1_{\mathbb{R}}(X)$ 上での $\lambda_1(f)$ のスペクトル単純性が成立する。
• $f^*$ が $N^2_{\mathbb{R}}(X)$ 上の有効クラスの錐を保存する場合、$r_1(f)^2 > r_2(f)$ の下で同様のスペクトル単純性が得られる。