[論文レビュー] The singularities of the invariant metric on the line bundle of Jacobi forms

José Ignacio Burgos Gil, Ulf Kühn+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モジュラー線形束に不変計量を備えたマムフォードの拡張定理を、特にユニバーサル楕円曲線を含む混合シムール多様体へと拡張する。標準的な拡張は、ヤコビ形式線束の計量におけるcodimension-two特異点のため失敗し、b-除法論を用いて函子的性、Chern-Weil理論の整合性、ヤコビ形式の漸近次元に関するヒルベルト＝サミュエル型公式を回復する解決策を提示する。

ABSTRACT

A theorem by Mumford implies that every automorphic line bundle on a pure open Shimura variety, equipped with an invariant smooth metric, can be uniquely extended as a line bundle on a toroidal compactification of the variety, in such a way that the metric acquires only logarithmic singularities. This result is the key of being able to compute arithmetic intersection numbers from these line bundles. Hence it is natural to ask whether Mumford's result remains valid for line bundles on mixed Shimura varieties. In this paper we examine the simplest case, namely the sheaf of Jacobi forms on the universal elliptic curve. We show that Mumford's result cannot be extended directly to this case and that a new interesting kind of singularities appears. By using the theory of b-divisors, we show that an analogue of Mumford's extension theorem can be obtained. We also show that this extension is meaningful because it satisfies Chern-Weil theory and a Hilbert-Samuel type of formula.

研究の動機と目的

• 純シムール多様体における不変計量に関するマムフォードの定理が、特にユニバーサル楕円曲線を含む混合シムール多様体へと拡張可能かどうかを調査すること。
• ユニバーサル楕円曲線上のヤコビ形式線束における平行移動不変計量の振る舞いを分析すること。
• ユニバーサル楕円曲線の単純なコンパクト化における函子的性の欠如およびChern-Weil理論の不成立を解消すること。
• 函書的性と幾何的整合性を回復するため、b-除法論を用いた新しい拡張フレームワークを開発すること。
• ヤコビ形式の空間の漸近次元と拡張されたb-除法論の自己交叉との関係を示すヒルベルト＝サミュエル型公式を確立すること。

提案手法

• ヤコビ形式線束の正しい拡張として、すべてのトーラス的コンパクト化を含むb-ℚ-カルティエ除法論を導入する。
• 対数的特異点がcodimension-twoに集中する特異計量を定義し、関数Ψ_sing（線形でない放物型関数）を用いる。
• トーリックb-除法論および凸安定集合Δ_singを用いて、計量の漸近的挙動をモデル化する。
• 安定集合Δ_singの体積を用いてb-除法論の自己交叉を計算し、それが2·Vol(Δ_sing)に等しいことを示す。
• 特異計量に対するChern-Weil理論を確立し、計量の特徴形式がb-除法論のチャーン類に積分されることを示す。
• ヤコビ形式の漸近次元とb-除法論の自己交叉との関係を関係づけ、体積差の明示的評価を用いてヒルベルト＝サミュエル型公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マムフォードの不変計量に関する拡張定理は、ユニバーサル楕円曲線を含む混合シムール多様体へ一般化可能か？
• RQ2 ユニバーサル楕円曲線上のヤコビ形式線束における不変計量に生じる特異点の性質は何か？
• RQ3 特異計量を伴うヤコビ形式線束をコンパクト化へ函書的にかつ幾何的に拡張する方法は存在するか？
• RQ4 b-除法論による拡張において、特異計量に対するChern-Weil理論は成立するか？
• RQ5 ヤコビ形式の空間の漸近次元とb-除法論の自己交叉との関係を示すヒルベルト＝サミュエル型公式を確立できるか？

主な発見

• ヤコビ形式線束の不変計量を単純に拡張すると、codimension-two特異点のため函書的性が失われ、Chern-Weil理論も満たさない。
• 正しい拡張はb-ℚ-カルティエ除法論であり、すべてのトーラス的コンパクト化において函書的性を保証する。
• b-除法論の自己交叉は2·Vol(Δ_sing)で与えられ、ここでΔ_sing = {(x,y) ∈ (ℝ²)∨ | x,y ≥ 0, x+y ≤ 1, √x + √y ≥ 1}である。
• 単純な拡張とb-除法論の自己交叉との差は正確に1/3であり、∑_{n>0,m>0,(n,m)=1} 1/(n²m²(n+m)²) = 1/3として計算される。
• 特異計量に対するChern-Weil理論は成立する：計量の特徴形式はb-除法論のチャーン類に積分される。
• ヒルベルト＝サミュエル型公式が確立され、ヤコビ形式の空間の漸近次元がb-除法論の自己交叉と関係づけられ、体積差が1/3補正項と一致する。