[論文レビュー] The Sorting Buffer Problem is NP-hard

Ho-Leung Chan, Nicole Megow+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2010

Optimization and Search Problems参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、3-Partition問題への還元を用いて、オフラインソーティングバッファ問題がNP困難であることを証明し、長年の未解決問題を解決した。また、元のサイズの2倍よりわずかに大きなバッファに対してO(1)-近似アルゴリズムを提示し、バッファサイズ2に対して線形時間の動的計画法を提案した。

ABSTRACT

We consider the offline sorting buffer problem. The input is a sequence of items of different types. All items must be processed one by one by a server. The server is equipped with a random-access buffer of limited capacity which can be used to rearrange items. The problem is to design a scheduling strategy that decides upon the order in which items from the buffer are sent to the server. Each type change incurs unit cost, and thus, the cost minimizing objective is to minimize the total number of type changes for serving the entire sequence. This problem is motivated by various applications in manufacturing processes and computer science, and it has attracted significant attention in the last few years. The main focus has been on online competitive algorithms. Surprisingly little is known on the basic offline problem. In this paper, we show that the sorting buffer problem with uniform cost is NP-hard and, thus, close one of the most fundamental questions for the offline problem. On the positive side, we give an O(1)-approximation algorithm when the scheduler is given a buffer only slightly larger than double the original size. We also give a dynamic programming algorithm for the special case of buffer size two that solves the problem exactly in linear time, improving on the standard DP which runs in cubic time.

研究の動機と目的

• オフラインソーティングバッファ問題がNP困難であるかどうかという根本的な未解決問題を解明すること。
• 特にバッファ容量が最適値よりもわずかに大きい場合に、効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• 特にバッファサイズ2の場合に、より高速な正確なアルゴリズムを設計すること。
• 近似保証の文脈において、古典的なオフラインアルゴリズム（Longest Forward Distance: LFD）の限界を分析すること。

提案手法

• NP困難な3-Partition問題をソーティングバッファ問題に還元することで、NP困難性を証明した。
• 線形計画法の丸めに基づくO(1)-近似アルゴリズムを提案し、元の容量の2倍よりわずかに大きなバッファサイズを用いた。
• バッファサイズ2のための動的計画法を設計し、バッファ内のアクティブな色を効率的に追跡・更新することで、線形時間O(n)で実行できるようにした。
• 均等分析を用いて、アクティブな色とその将来の位置を保持し、各ステップで定数時間の操作を実現した。
• 最終的なDPテーブルの状態から最適スケジュールを回復するために、逆方向再構成技術を採用した。
• Longest Forward Distance (LFD)アルゴリズムの性能を分析し、最悪ケースのインスタンスを構築することで、その近似比がΩ(k^{1/3})であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オフラインソーティングバッファ問題はNP困難か？
• RQ2 バッファサイズが最適値よりもわずかに大きい場合に、定数近似比を達成できるか？
• RQ3 バッファサイズ2のような小さなバッファサイズに対して、著しく高速な正確なアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 ソーティングバッファ問題におけるLongest Forward Distance (LFD)アルゴリズムの近似比は何か？
• RQ5 NP困難性の結果を踏まえ、ソーティングバッファ問題はAPX困難か？

主な発見

• オフラインソーティングバッファ問題は、3-Partition問題への還元を用いてNP困難であることが証明された。
• バッファ容量が元のサイズの2倍よりわずかに大きい場合に、O(1)-近似アルゴリズムが開発された。
• バッファサイズ2のための動的計画法は、線形時間O(n)で実行され、標準的なO(n^3)のDP手法よりも著しく高速になった。
• Longest Forward Distance (LFD)アルゴリズムの近似比は、少なくともΩ(k^{1/3})であることが示され、定数近似比を達成しないことがわかった。
• NP困難性の還元は近似を保つものではないため、問題がAPX困難かどうかは未解決のまま残っている。
• 本稿では、最小化問題と最大化問題の両方がNP困難であることを確立した。両者は同じ最適解を共有するためである。