[論文レビュー] The spectrum of magnetic Schrödinger operators and $k$-form Laplacians on conformally cusp manifolds

Sylvain Golénia, Sergiu Moroianu|ArXiv.org|Jul 21, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、共形的カスプ多様体上における磁気シュレーディンガー作用素およびk-形式ラプラシアンのスペクトル的性質を調査する。共形的カスプ多様体とは、共形的シリンダーメトリックに漸近する非コンパactなリーマン多様体である。本稿では、k-形式ラプラシアンの本質的スペクトルが、境界のk次および(k-1)次ド・ラームコホモロジー群が両方とも消えるときにかつそのときに限り消えることを確立し、磁場の相対的コホモロジー類が非整数である場合、再生核がコンパクトであることを示し、これはコンパクト台付き摂動に対しても純粋点スペクトルを意味する。

ABSTRACT

We consider open manifolds which are interiors of a compact manifold with boundary, and Riemannian metrics asymptotic to a conformally cylindrical metric near the boundary. We show that the essential spectrum of the Laplace operator on functions vanishes under the presence of a magnetic field which does not define an integral relative cohomology class. It follows that the essential spectrum is not stable by perturbation even by a compactly supported magnetic field. We also treat magnetic operators perturbed with electric fields. In the same context we describe the essential spectrum of the $k$-form Laplacian. This is shown to vanish precisely when the $k$ and $k-1$ de Rham cohomology groups of the boundary vanish. In all the cases when we have pure-point spectrum we give Weyl-type asymptotics for the eigenvalue-counting function. In the other cases we describe the essential spectrum.

研究の動機と目的

• 共形的カスプ多様体上でのk-形式ラプラシアンが純粋点スペクトルをもつための条件を特定すること。
• コンパクト台付き磁気摂動における本質的スペクトルの安定性を分析すること。
• 磁場の相対的コホモロジー類を用いて、磁気シュレーディンガー作用素の本質的スペクトルを特徴付けること。
• スペクトルが純粋点である場合に、固有値数関数のウェイル型漸近展開を確立すること。
• k-形式ラプラシアンの本質的スペクトルが、ちょうど h^k(M) および h^{k-1}(M) が両方とも消えるときにのみ消えることを証明すること。

提案手法

• 境界付近でのリーマン計量が共形的シリンダーメトリックに漸近することを分析し、y → ∞ のときのモデル g_p = y^{-2p}(dy^2 + h) を用いる。
• k-形式上のラプラシアンのスペクトル的性質を調べるために、カスプ擬微分作用素理論を適用する。
• 磁気ラプラシアン Δ_A = d_A^*d_A の自己共役実現のためのフレドリクス拡張を用いる。
• ゲージ不変性を適用して、スペクトル解析を H^2(X,M) におけるコホモロジー不変量に還元する。
• 切り上げ関数を用いた分解原理と Rellich-Kondrakov のコンパクト性を用いて、X と X\K 上の本質的スペクトルを比較する。
• Weyl系列を確立し、交換子推定を用いて特異連続スペクトルの不在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界多様体 M におけるコホモロジー的条件が、k-形式ラプラシアンの純粋点スペクトルをもたらすのはどのような場合か？
• RQ2 相対的コホモロジー類 [B] ∈ H^2(X,M) は、磁気シュレーディンガー作用素の本質的スペクトルにどのように影響を与えるか？
• RQ3 コンパクト台付き磁場は、共形的カスプ多様体上のラプラシアンの本質的スペクトルを変えることができるか？
• RQ4 コホモロジー条件が満たされない場合、k-形式ラプラシアンの本質的スペクトルの正確な構造は何か？
• RQ5 本質的スペクトルから0が欠落していることは、L^2-形式上のホッジ分解に対応するか？

主な発見

• k-形式ラプラシアン Δ_{k,p} の本質的スペクトルが、ちょうど h^k(M) および h^{k-1}(M) が両方とも消えるときにのみ消える。
• 0 < p < 1 のとき、Δ_{k,p} の本質的スペクトルは [0, ∞) であるが、p = 1 のときは [c, ∞) であり、c は次元およびベッチ数に依存する。
• 磁場 B が H^2(X,M) において整数クラスを定義しない場合、磁気ラプラシアン Δ_A は再生核がコンパクトであり、これは純粋点スペクトルを意味する。
• 本質的スペクトルは、コンパクト台付き磁気摂動に対しても安定ではない、すなわち完全な多様体であっても同様である。
• 計量 (1) において、k-形式設定において特異連続スペクトルの不在が確立された。
• 分解原理により、K が境界をもつコンパクト部分多様体であるとき、磁気ラプラシアンの X 上と X\K 上のスペクトルの本質的スペクトルが等しい、すなわち σ_ess(Δ) = σ_ess(Δ') であることが示された。