[論文レビュー] The stack of higher internal categories and stacks of iterated spans

David Li-Bland|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Lurieの∞-トポスにおける高次内部圏とHaugsengの局所系付き反復スパンの2つの構成が、∞-トポスの∞-圏上にスタックをなすことを確立する。両者の割り当てが小極限に関して連続であることを、統一された内部圏の∞-圏を介して示すことで、両構成が降下性を満たし、高次圏および反復スパンの∞-スタックが得られることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we show that two constructions form stacks: Firstly, as one varies the $\infty$-topos, $\mathcal{X}$, Lurie's homotopy theory of higher categories internal to $\mathcal{X}$ varies in such a way as to form a stack over the $\infty$-category of all $\infty$-topoi. Secondly, we show that Haugseng's construction of the higher category of iterated spans in a given $\infty$-topos (equipped with local systems) can be used to define various stacks over that $\infty$-topos. As a prerequisite to these results, we discuss properties which limits of $\infty$-categories inherit from the $\infty$-categories comprising the diagram. For example, Riehl and Verity have shown that possessing (co)limits of a given shape is hereditary. Extending their result somewhat, we show that possessing Kan extensions of a given type is heriditary, and more generally that the adjointability of a functor is heriditary.

研究の動機と目的

• Lurieの∞-トポスにおける高次内部圏の構成が、∞-トポスの∞-圏上にスタックをなすことを確立すること。
• Haugsengの局所系付き反復スパンの構成が、任意の∞-トポス上にスタックをなすことを示すこと。
• ∞-圏の文脈において、これらの構成が小極限に関して連続であることを理解するための枠組みを構築すること。
• すべての∞-トポスにおける内部圏の総体∞-圏∫css_kを介して、高次圏とスパンの統一的取り扱いを可能にすること。
• 内部圏への反復スパンの割り当てが連続であることを示し、高次圏的幾何学に不可欠な降下性を保証すること。

提案手法

• ∞-トポスXと高次内部圏X•,…,•の対(X, X•,…,•)を捕捉する関手X ↦ css_k(X)の、laxコロイム（非直線化を用いて）としての総体∞-圏∫css_kを構成する。
• ∫css_kにおける極限が、成分となる∞-圏からのケイ・エクステンションおよびアドジョイント性の性質を継承することを証明し、Riehl-Verityの(Co)limitに関する結果を一般化する。
• 割り当て(X, X•,…,•) ↦ Span_k(X, X•,…,•)が、総体∞-圏∫css_k上で連続（小極限を保存）することを示す。
• Span_kの連続性を用いて、連続関手σ: X^{op} → ∫css_kに対して、割り当てU ↦ Span_k(X_{/U}, σ(U))が任意の∞-トポスX上に∞-スタックを定義することを導く。
• 降下を適用して、高次内部圏のスタックおよび反復スパンのスタックが、エタール被覆に関してシーブ条件を満たすことを示す。
• ∞-トポス理論におけるcoCartesianセクションおよび引き戻しを用いて、被覆上の局所データとグローバル構成との関係を、∞-スタック性を通じて関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∞-トポスにおける高次内部圏の構成は、降下性を満たすか、すなわち∞-トポスの∞-圏上にスタックをなすか？
• RQ2 局所系付き反復スパンの割り当てが、小極限に関して内部圏の関手として連続か？
• RQ3 局所データの連続的割り当てを通じて、反復スパンの構成を∞-トポス上に∞-スタックとして構成できるか？
• RQ4 ケイ・エクステンションやアドジョイント性といった性質は、∞-圏の極限を通じてどの程度降下するか？
• RQ5 内部高次圏と反復スパンの間の相互作用を、降下性およびスタック条件を満たす形で形式化する方法は何か？

主な発見

• 関手X ↦ css_k(X)（∞-トポスXからその完全k重セガル対象の∞-圏への割り当て）は、∞-トポスの∞-圏上にスタックをなす。
• 割り当て(X, X•,…,•) ↦ Span_k(X, X•,…,•)は、総体∞-圏∫css_k上で連続であり、小極限を保存する。
• 任意の連続関手σ: X^{op} → ∫css_kに対して、割り当てU ↦ Span_k(X_{/U}, σ(U))はX上に(∞,k)-スタックを定義する。
• 特に、任意の固定されたX•,…,• ∈ css_k(Xに対して、X_{/U} ↦ Span_k(X_{/U}, U × X•,…,•)はX上に(∞,k)-スタックをなす。
• 導来スパンの合成は、関与するスパンに連続的（代数的に）依存しており、特性0の体上の導来スタックの状況で示された。
• この枠組みにより、高次圏および反復スパンのグローバルかつ降下適合の取り扱いが可能となり、高次圏論および数理物理学への応用を支援する。