[論文レビュー] The strange duality conjecture for generic curves

Prakash Belkale|ArXiv.org|Feb 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ g \geq 1 $ の一般の曲線に対して奇妙な双対性予想を証明し、半安定ベクトル束 $ F \in U_X^*(k) $ に付随するセクション $ \Theta_F $ が空間 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ を張ることを確立する。証明は、コンformalブロックの因子分解、グラスマンニアン上のグロモフ＝ウィッテン不変量、および退化技術を組み合わせ、必要なシータセクションを生成する幾何的枚挙問題を構成する。これにより、一般の曲線における双対性が確認される。

ABSTRACT

For X a compact Riemann surface of positive genus, the strange duality conjecture predicts that the space of sections of certain theta bundle on moduli of bundles of rank r and level k is naturally dual to a similar space of sections of rank k and level r. We prove this conjecture for X generic in the moduli space of curves of a given genus.

研究の動機と目的

• 一般の曲線 $ M_g $ のモジュライ空間における奇妙な双対性予想を確立すること。これは、ランク $ r $、レベル $ k $ のシータ関数とランク $ k $、レベル $ r $ のそれらを関連付ける。
• セクション $ \Theta_F $（$ F \in U_X^*(k) $）が $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ を張ることを示すこと。これは、予想が同型であることに等しい。
• 高種数における、量子コホモロジーとグラスマンニアン上のシューベルト計算の構造を模倣する幾何的枚挙問題を構築すること。
• コンフォーマルブロックの因子分解とヴェルリンクデの公式を用いて、$ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ の次元 $ M(r,k,g) $ を計算し、グロモフ＝ウィッテン不変量と結びつけること。

提案手法

• 筒井＝上田＝山田の因子分解公式を用いて、$ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ の次元 $ M(r,k,g) $ を $ \mathbb{P}^1 $ 上のコンフォーマルブロックに還元する。
• ヴェルリンクデの公式を適用し、コンフォーマルブロックの次元を計算し、$ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ のランクと結びつける。
• ウィッテンの関係（$ \mathbb{P}^1 $ 上のコンフォーマルブロックとグラスマンニアンの小量子コホモロジーの間）を用い、$ M(r,k,g) $ をねじれグロモフ＝ウィッテン不変量の和として表現する。
• 方程式 (\ddagger) のグロモフ＝ウィッテン和を模倣して、$ \operatorname{Gr}(r,n) \times \operatorname{Gr}(r,n) $ の対角の部分的退化を構成し、高種数における新しい枚挙問題を導入する。
• この枚挙問題における横断的交差から生じる線形独立なセクションが $ \Theta_F $ の形をしていることを示し、したがって $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ を張ることを示す。
• 形式的変形理論とアーチン近似を用いて、一般の曲線上のベクトル束を、自明な判別式と半安定性を保ちながら持ち上げること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の曲線 $ g \geq 1 $ に対して奇妙な双対性同型が成り立つか、すなわち $ X \in M_g $ が一般のとき、写像 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r)^* \to H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ が同型であるか。
• RQ2 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ の次元 $ M(r,k,g) $ が、グラスマンニアン上のねじれグロモフ＝ウィッテン不変量の和として表現可能か。
• RQ3 高種数における、解が自然に $ F \in U_X^*(k) $ のためのシータセクション $ \Theta_F $ を生成する幾何的枚挙問題が存在するか。
• RQ4 グラスマンニアンにおけるシューベルト多様体とその双対の構造が、高種数におけるコンフォーマルブロックの因子分解とどのように関係するか。
• RQ5 グロモフ＝ウィッテン理論におけるシフト作用素を模倣する退化技術を用いて、双対性を証明できるか。

主な発見

• 一般の曲線 $ X \in M_g $ に対して奇妙な双対性予想が成立し、セクション $ \Theta_F $（$ F \in U_X^*(k) $）が $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ を張ることを確認した。これにより、予想における同型が裏付けられた。
• $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ の次元 $ M(r,k,g) $ は、ねじれグロモフ＝ウィッテン不変量の和として与えられる：$ M(r,k,g) = \sum' \langle \omega_{I^1}, \dots, \omega_{I^g}, \omega_{(I^1)'}^\prime, \dots, \omega_{(I^g)'}^\prime \rangle_{0,-k(g-1)} $。
• 高種数における枚挙問題の構成は、$ \operatorname{Gr}(r,n) \times \operatorname{Gr}(r,n) $ の対角の部分的退化をモデルとしており、和の範囲は $ [r+k] $ の部分集合 $ I^j \subset [r+k] $（サイズ $ r $ で 1 を含む）に制限される。
• この枚挙問題におけるセクション $ \Theta_F $ の線形独立性は、横断的交差から生じる。幾何的に、この和に現れるグロモフ＝ウィッテン不変量が実現される。
• グロモフ＝ウィッテン理論におけるシフト作用素（命題 A.3）を用いて、退化下での不変量を関連付け、再帰的還元により全和を構成できる。
• 証明は、$ h^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) = h^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ であることに依拠しており、これにより張りが同型を意味する。このことは、$ \Theta_F $ セクションの幾何的構成によって達成される。