[論文レビュー] The Structure of Models of Second-order Set Theories

Kameryn J. Williams|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、第二階集合論のモデルの構造を、$\mathsf{GBC}$、$\mathsf{KM}$、および関連する体系に焦点を当てて調査する。モデルの$T$-実現の順序集合は、可算$\mathsf{ZFC}$モデルに対して非常に複雑であることが示され、任意の可算部分順序が埋め込まれることを証明している。一方で、$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}}$のような弱い理論では最小の整礎モデルを有するが、$\mathsf{KM}$のような強い理論では最小の整礎モデルを有さないことが示され、第二階算術とは明確な対比を示している。

ABSTRACT

This dissertation is a contribution to the project of second-order set theory, which has seen a revival in recent years. The approach is to understand second-order set theory by studying the structure of models of second-order set theories. The main results are the following, organized by chapter. First, I investigate the poset of $T$-realizations of a fixed countable model of $\mathsf{ZFC}$, where $T$ is a reasonable second-order set theory such as $\mathsf{GBC}$ or $\mathsf{KM}$, showing that it has a rich structure. In particular, every countable partial order embeds into this structure. Moreover, we can arrange so that these embedding preserve the existence/nonexistence of upper bounds, at least for finite partial orders. Second I generalize some constructions of Marek and Mostowski from $\mathsf{KM}$ to weaker theories. They showed that every model of $\mathsf{KM}$ plus the Class Collection schema "unrolls" to a model of $\mathsf{ZFC}^-$ with a largest cardinal. I calculate the theories of the unrolling for a variety of second-order set theories, going as weak as $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}$. I also show that being $T$-realizable goes down to submodels for a broad selection of second-order set theories $T$. Third, I show that there is a hierarchy of transfinite recursion principles ranging in strength from $\mathsf{GBC}$ to $\mathsf{KM}$. This hierarchy is ordered first by the complexity of the properties allowed in the recursions and second by the allowed heights of the recursions. Fourth, I investigate the question of which second-order set theories have least models. I show that strong theories---such as $\mathsf{KM}$ or $Π^1_1 ext{-}\mathsf{CA}$---do not have least transitive models while weaker theories---from $\mathsf{GBC}$ to $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}_\mathrm{Ord}$---do have least transitive models.

研究の動機と目的

• 固定された可算$\mathsf{ZFC}$モデルに対する$T$-実現の順序集合を分析することで、第二階集合論のモデル構造を理解すること。
• $\mathsf{KM}$から弱い理論、特に$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$へのアンローリング構成を一般化し、その結果得られる理論を計算すること。
• $\mathsf{GBC}$から$\mathsf{KM}$までの超限再帰原理の階層を、性質の複雑さと再帰の高さの観点から整理すること。
• どの第二階集合論が最小の整礎モデルを有するかを特定し、強力な理論と弱い理論の間で明確な分岐があることを明らかにすること。

提案手法

• 理論$T$（例：$\mathsf{GBC}$、$\mathsf{KM}$）に対して、可算$\mathsf{ZFC}$モデルの$T$-実現の順序集合を分析し、任意の可算部分順序が埋め込まれることを証明する。
• アンローリング構成を用いて、$T$のモデルを$\mathsf{ZFC}^{-}$のモデルに変換し、最大の基数を持つようにし、マレクとモストフスキーの結果をより弱い理論へ拡張する。
• クラス内での切り詰めと構成可能宇宙の構成を用いて、最小モデルおよび$\beta$-モデルを分析する。
• 性質の複雑さと再帰の高さに基づく、超限再帰原理の階層を導入する。
• 非標準的コンパクト性および適応的被覆技術を用いて、$\beta$-モデルおよび整礎クラスを分析する。
• 広範な第二階集合論のクラスに対して、$T$-実現可能性が部分モデルへ下向き絶対的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの第二階集合論が最小の整礎モデルを有するのか。この性質はどのように特徴づけられるか。
• RQ2 固定された可算$\mathsf{ZFC}$モデルに対する$T$-実現の順序集合（例：$\mathsf{GBC}$、$\mathsf{KM}$）はどの程度豊かか。
• RQ3 $\mathsf{KM}$から$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$のような弱い理論へ、アンローリング構成をどの程度一般化できるか。
• RQ4 超限再帰原理は$\mathsf{GBC}$から$\mathsf{KM}$にかけてどの程度強さの違いを示し、その階層はどのような要因によって決定されるか。
• RQ5 第二階算術と第二階集合論の間で、最小モデルや$\operatorname{Hyp}(V)$の定義可能性に関する類似点と相違点は何か。

主な発見

• 可算$\mathsf{ZFC}$モデルに対する$T$-実現の順序集合は極めて複雑である：任意の可算部分順序が埋め込まれており、有限部分順序の上界の存在・非存在が保存される。
• $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$では最小の整礎モデルが存在するが、$\mathsf{KM}$や$\ Pi_{1}^{1}\text{-}\mathsf{CA}$のようなより強い理論では最小の整礎モデルは存在しない。
• $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$のアンロールは、最大の基数を持つ$\mathsf{ZFC}^{-}$のモデルを生成し、その結果得られる理論は第二階集合論の広い範囲で計算されている。
• 超限再帰原理は厳密な階層を形成する：$\mathsf{GBC} \ll \mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}} \ll \cdots \ll \mathsf{KM}$、再帰の複雑さと高さの観点から順序付けられる。
• 整礎順序であるという性質は集合論では一階論理的だが、算術では二階論理的であるため、主要な相違点が説明できる。例えば、$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$は$\operatorname{Hyp}(V)$を符号化可能だが、$\mathsf{ATR}_0$はできない。
• $\mathsf{ATR}_0$は最小の$\omega$-モデルや$\beta$-モデルを有さないが、$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$は最小の$\beta$-モデルを有する。これは算術と集合論的逆数学の間で根本的な分岐を示している。