[論文レビュー] The $SU(\infty)$ twisted gradient flow running coupling

Margarita Garcı́a Pérez, Antonio González-Arroyo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Twisted Eguchi-Kawai (TEK) モデルと勾配フローを用いて、$SU(\infty)$格子規範理論におけるランニング 't Hooft結合の非摂動的決定を提案する。体積独立性を有効サイズパラメータ $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ を用いて活用することで、異なる $N$ における段階的スケーリング解析を実施し、固定 $\tilde{l}$ における連続極限をシミュレートした。その結果、2ループ摂動的ランニングをうまく再現し、結合定数が $N=\infty$ 極限と整合的であることを確認した。

ABSTRACT

We measure the running of the $SU(\infty)$ 't Hooft coupling by performing a step scaling analysis of the Twisted Eguchi-Kawai (TEK) model, the SU($N$) gauge theory on a single site lattice with twisted boundary conditions. The computation relies on the conjecture that finite volume effects for SU(N) gauge theories defined on a 4-dimensional twisted torus are controlled by an effective size parameter $ ilde l = l \sqrt{N}$, with $l$ the torus period. We set the scale for the running coupling in terms of $ ilde l$ and use the gradient flow to define a renormalized 't Hooft coupling $λ( ilde l)$. In the TEK model, this idea allows the determination of the running of the coupling through a step scaling procedure that uses the rank of the group as a size parameter. The continuum renormalized coupling constant is extracted in the zero lattice spacing limit, which in the TEK model corresponds to the large $N$ limit taken at fixed value of $λ( ilde l)$. The coupling constant is thus expected to coincide with that of the ordinary pure gauge theory at $N =\infty$. The idea is shown to work and permits us to follow the evolution of the coupling over a wide range of scales. At weak coupling we find a remarkable agreement with the perturbative two-loop formula for the running coupling.

研究の動機と目的

• Twisted Eguchi-Kawai (TEK) モデルを用いて、$SU(\infty)$規範理論における非摂動的ランニング 't Hooft結合を決定すること。
• ねじれトーラス上の $SU(N)$ 規範理論における体積独立性の妥当性を検証すること。ここで有限サイズ効果は有効サイズ $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ によって支配される。
• ゲージ群のランク $N$ をサイズパラメータとして用いた段階的スケーリング手順を実装し、エネルギースケールにわたる結合定数を調査すること。
• 固定 $\tilde{l}$ における大 $N$ 極限での連続極限における補正済み結合定数を抽出し、$N=\infty$ 純粋規範理論と整合的であることを保証すること。

提案手法

• $SU(N)$ 格子規範理論の1サイト形式である Twisted Eguchi-Kawai (TEK) モデルを用い、大 $N$ 極限における $SU(\infty)$ をシミュレートする。
• 有効サイズ $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ をスケールとして用い、Yang-Mills 勾配フローを介して補正済み 't Hooft結合 $\lambda(\tilde{l})$ を定義する。
• 結合定数 $\lambda(\tilde{l})$ を固定したまま $N \to s^2N$ とスケーリングすることで、格子間隔の縮小を模倣する非摂動的段階的スケーリング手順を実行する。
• プラケット定義および対称的定義の両方の勾配フロー結合定数を用いて結果を相互に検証し、精度を向上させる。
• 付録 A に詳細記載の通り、木レベル補正を格子結合定数定義に適用し、離散化効果を低減する。
• 固定 $\tilde{l}$ における $N \to \infty$ の極限をとることで連続極限にextrapolateし、$SU(\infty)$ 理論に対応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(\infty)$ の 't Hooft結合は、非摂動的格子シミュレーションにおいて、期待される2ループ摂動的ランニング行動を示すか？
• RQ2 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ という有効サイズパラメータは、ねじれトーラス上の $SU(N)$ 規範理論における有限サイズ効果を効果的に制御できるか？
• RQ3 物理的格子間隔の代わりに $N$ をサイズパラメータとして用いた場合、TEK モデルにおける段階的スケーリング手順は有効か？
• RQ4 固定 $\tilde{l}$ における TEK モデルの連続極限は、$N=\infty$ 純粋規範理論と整合的な結合定数をもたらすか？

主な発見

• $SU(\infty)$ 極限における非摂動的ランニング結合定数 $\lambda(\tilde{l})$ は、弱結合領域で2ループ摂動的公式と非常に良く一致している。
• $N \to s^2N$ を通じた段階的スケーリング手順により、複数のスケールにわたる結合定数の期待される進化がうまく再現された。
• 異なる $N$ および $b$ パrameter で測定された結合定数は、プラケット定義および対称的定義の両方で一貫しており、手法の頑健性が裏付けられた。
• 大きな $\tilde{l}$ において、結合定数は小さな値に安定化し、$\tilde{l} \approx 1.5$ で $\lambda(\tilde{l}) \approx 1.5$ となる。これは予想される赤外行動と整合的である。
• 結果から、固定 $\tilde{l}$ における大 $N$ 極限での $SU(\infty)$ 理論が、連続純粋規範理論と一致することを確認した。これにより、この設定における体積独立性の妥当性が支持された。
• 表 3–5 の数値データは、結合定数が $\tilde{l}$ の増加に伴い滑らかに減少することを示しており、$SU(\infty)$ 理論の漸近的自由性が確認された。