[論文レビュー] The Submodular Secretary Problem Goes Linear

Moran Feldman, Rico Zenklusen|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、部分的モジュラーマトロイド・セクレタリー問題（SMSP）を、古典的マトロイド・セクレタリー問題（MSP）へブラックボックス還元する手法を提示している。MSPのマトロイドクラスに対してO(1)-競合性を持つアルゴリズムが存在するならば、同じクラスにおいてSMSPに対してもO(1)-競合性を持つアルゴリズムが得られることを証明している。主な結果は、マトロイド・セクレタリー予想（MSPにおけるO(1)-競合性）が、SMSPにおける同じ予想と同値であるということであり、SMSPはMSPよりも本質的に難しいわけではないことを示している。

ABSTRACT

During the last decade, the matroid secretary problem (MSP) became one of the most prominent classes of online selection problems. Partially linked to its numerous applications in mechanism design, substantial interest arose also in the study of nonlinear versions of MSP, with a focus on the submodular matroid secretary problem (SMSP). So far, O(1)-competitive algorithms have been obtained for SMSP over some basic matroid classes. This created some hope that, analogously to the matroid secretary conjecture, one may even obtain O(1)-competitive algorithms for SMSP over any matroid. However, up to now, most questions related to SMSP remained open, including whether SMSP may be substantially more difficult than MSP; and more generally, to what extend MSP and SMSP are related. Our goal is to address these points by presenting general black-box reductions from SMSP to MSP. In particular, we show that any O(1)-competitive algorithm for MSP, even restricted to a particular matroid class, can be transformed in a black-box way to an O(1)-competitive algorithm for SMSP over the same matroid class. This implies that the matroid secretary conjecture is equivalent to the same conjecture for SMSP. Hence, in this sense SMSP is not harder than MSP. Also, to find O(1)-competitive algorithms for SMSP over a particular matroid class, it suffices to consider MSP over the same matroid class. Using our reductions we obtain many first and improved O(1)-competitive algorithms for SMSP over various matroid classes by leveraging known algorithms for MSP. Moreover, our reductions imply an O(loglog(rank))-competitive algorithm for SMSP, thus, matching the currently best asymptotic algorithm for MSP, and substantially improving on the previously best O(log(rank))-competitive algorithm for SMSP.

研究の動機と目的

• 部分的モジュラーマトロイド・セクレタリー問題（SMSP）が、古典的マトロイド・セクレタリー問題（MSP）よりも本質的に難しいかどうかを解明すること。
• SMSPからMSPへの一般化されたブラックボックス還元を確立し、競合性アルゴリズムの移行を可能にすること。
• 競合比の保証とアルゴリズムの実行可能性という観点から、MSPとSMSPの関係を調査すること。
• MSPから得られている既知の結果を活用して、SMSPの漸近的競合比を改善すること。
• マトロイド・セクレタリー予想が、SMSPに対しても同様に成り立つかどうかを特定すること。

提案手法

• MSPに対してα-競合性を持つ任意のアルゴリズムを、同じマトロイドクラスにおいてO(α²)-競合性を持つSMSPのアルゴリズムに変換するブラックボックス還元を設計する。
• 選択と部分的モジュラ関数の利益のバランスを取るために、適切に選ばれた確率p = (3α)⁻¹を用いた確率的アルゴリズム（アルゴリズム2）を導入する。
• 部分的モジュラ性と非負性を活用した、確率的サブセット上の部分的モジュラ関数の期待値に基づく確率的分析を採用する。
• 部分的モジュラ性を活用して、集合の和集合における関数期待値と個々の期待値の和を関連付ける重要な補題を用いる。
• 独立性オракルモデルを用いて、集中と期待値のバウンドを適用し、競合比の保証を導出する。
• 任意のMSPインスタンスに対して、期待総重さがw(OPT)/α以上であるような相関したランダム独立集合の集合{P_i}の存在に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的モジュラーマトロイド・セクレタリー問題（SMSP）は、古典的マトロイド・セクレタリー問題（MSP）よりも厳密に難しいか？
• RQ2 与えられたマトロイドクラスにおいて、MSPに対してO(1)-競合性を持つアルゴリズムが、SMSPに対してもO(1)-競合性を持つアルゴリズムに変換可能か？
• RQ3 マトロイド・セクレタリー予想（MSPにおけるO(1)-競合性）は、SMSPに対しても同様に成り立つか？
• RQ4 SMSPで達成可能な最良の漸近的競合比は何か？ そして、MSPで既知の最良の競合比と比較するとどうか？
• RQ5 マトロイドの構造的性質と部分的モジュラ関数の性質は、不確実性下でのオンライン選択において、どの程度相互に作用するか？

主な発見

• マトロイド・セクレタリー予想は、SMSPにおける同じ予想と同値であり、SMSPはMSPよりも本質的に難しいわけではない。
• マトロイドクラスに対してO(1)-競合性を持つMSPのアルゴリズムが存在するならば、同じクラスにおいてSMSPに対してもO(1)-競合性を持つアルゴリズムがブラックボックス還元により得られる。
• SMSPに対してO(log log(rank))-競合性を持つアルゴリズムが達成され、これはMSPの最良-known漸近的競合比と一致する。
• 従来のSMSPの最良-known競合比はO(log(rank))であったが、本稿では還元を用いてO(log log(rank))に改善した。
• MSPアルゴリズムの競合比がαである場合、SMSPの結果となるアルゴリズムの競合比はO(kα(3α+1))となる。ここでkはMSP解における相関集合の数である。
• 還元フレームワークにより、既存のMSPアルゴリズムを活用することで、さまざまなマトロイドクラスにおいてSMSPに対する最初で改善されたO(1)-競合性アルゴリズムが実現可能になった。