[論文レビュー] The symplectic nature of the space of dormant indigenous bundles on algebraic curves

Yasuhiro Wakabayashi|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正標数の体上の代数的曲線における通常のドージャン・カーブの余接バンドルとドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタックの間の標準的なシンプレクティック同型を確立する。この同型はシンプレクティック構造を保存するものであり、複素幾何学におけるカワイらの古典的結果を一般化し、ドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタック上でのフォビオウス・定数量子化の構成に繋がる。

ABSTRACT

We study the symplectic nature of the moduli stack classifying dormant curves over a field $K$ of positive characteristic, i.e., proper hyperbolic curves over $K$ equipped with a dormant indigenous bundle. The central objects of the present paper are the following two Deligne-Mumford stacks. One is the cotangent bundle ${^\circledcirc T^{\vee ^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ of the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{M}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ classifying ordinary dormant curves over $K$ of genus $g$. The other is the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ classifying ordinary dormant curves over $K$ equipped with an indigenous bundle. These Deligne-Mumford stacks admit canonical symplectic structures respectively. The main result of the present paper asserts that a canonical isomorphism ${^\circledcirc T^{\vee ^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}} ightarrow {^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ preserves the symplectic structure. This result may be thought of as a positive characteristic analogue of the works of S. Kawai (in the paper entitled "The symplectic nature of the space of projective connections on Riemann surfaces"), P. Arés-Gastesi, I. Biswas, and B. Loustau. Finally, as its application, we construct a Frobenius-constant quantization on the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$.

研究の動機と目的

• 正標数におけるドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタックのシンプレクティック幾何を調査すること。
• 通常のドージャン・カーブにインディジェナスバンドルを備えたモジュライスタックに標準的なシンプレクティック構造を与えること。
• 通常のドージャン・カーブの余接スタックからそのようなバンドルのモジュライスタックへの自然な写像がシンプレクティズムであることを証明すること。
• このシンプレクティック同型を用いて、ドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタック上でのフォビオウス・定数量子化を構成すること。
• 古典的なリーマン面上の射影構造とテイヒミュラー空間のシンプレクティック幾何に対する正標数版を提供すること。

提案手法

• 正標数の体 $K$ 上の genus $g$ の通常のドージャン・カーブを分類するモジュライスタック ${{}^{ ext{\textcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ を定義する。
• このモジュライスタックの余接スタック ${{}^{ ext{\textcircledcirc}}}T^{ ext{\textdollar}∓\text{\textsc{Zzz...}}}_{g,K}$ を構成し、それに標準的なシンプレクティック構造を与える。
• 通常のドージャン・カーブにインディジェナスバンドルを備えたものを分類するモジュライスタック ${{}^{ ext{\textcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ を定義し、それに標準的なシンプレクティック構造を与える。
• Deligne-Mumford スタックとしての標準的同型 $\Psi_{g,K}: {{ }^{ ext{\textcircledcirc}}}T^{ ext{\textdollar}∓\text{\textsc{Zzz...}}}_{g,K} \xrightarrow{\sim} {{ }^{ ext{\textcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ を確立する。
• この同型がシンプレクティック構造を保存すること、すなわちシンプレクティズムであることを証明する。
• このシンプレクティズムを用いて、余接スタックからドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタックへ制限構造とフォビオウス・定数量子化を移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における通常のドージャン・カーブにインディジェナスバンドルを備えたモジュライスタックには、標準的なシンプレクティック構造が存在するか？
• RQ2 通常のドージャン・カーブの余接スタックからそのようなバンドルのモジュライスタックへの自然な写像は、シンプレクティック構造を保存するか？
• RQ3 これらのスタック間のシンプレクティック同型は、ドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタック上でのフォビオウス・定数量子化の構成に利用できるか？
• RQ4 この構成は、リーマン面上の射影構造の古典的シンプレクティック幾何とどのように関係するか？
• RQ5 このシンプレクティック枠組みにおいて、$p$-曲率と $p$-進テイヒミュラー理論の役割は何か？

主な発見

• 通常のドージャン・カーブにインディジェナスバンドルを備えたモジュライスタック ${{}^{ ext{\textcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ は、標準的なシンプレクティック構造を備える。
• 通常のドージャン・カーブの余接スタック ${{}^{ ext{\textcircledcirc}}}T^{ ext{\textdollar}∭\text{\textsc{Zzz...}}}_{g,K}$ にも、標準的なシンプレクティック構造が備わる。
• Deligne-Mumford スタックとしての標準的同型 $\Psi_{g,K}: {{ }^{ ext{\textcircledcirc}}}T^{ ext{\textdollar}∭\text{\textsc{Zzz...}}}_{g,K} \xrightarrow{\sim} {{ }^{ ext{\textcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ が存在する。
• この同型 $\Psi_{g,K}$ はシンプレクティック構造を保存するため、シンプレクティズムである。
• このシンプレクティズムにより、余接スタックからドージャン・インディジェナスバンドルのモジュライスタックへ制限構造とフォビオウス・定数量子化を移行できる。
• その結果、モジュライスタック ${{}^{ ext{\textcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ は、標準的なフォビオウス・定数量子化を備える。