[論文レビュー] The Tamarkin--Tsygan calculus of an algebra a la Stasheff

Pedro Tamaroff|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換多項ベクトル場および準自由なコフibrントリプレースメント上の微分形式を用いて、結合的代数のTamarkin–Tsygan微分積分法を内在的かつ計算可能な記述で与える。$Σ\mathsf{Calc}$ が非均一的クズルであることを証明し、カップ積、ゲルステンハーバー括弧、微分の明示的公式を用いた $Σ\mathsf{Calc}_{∞}$-モデルの構成が可能となる。特に単項代数への応用により、Hochschildコホモロジーおよびコホモロジーの明示的計算が可能となる。

ABSTRACT

We show how to compute the Tamarkin-Tsygan calculus of an associative algebra by providing, for a given cofibrant replacement of it, a `small' $\mathsf{Calc}_\infty$-model of its calculus, which we make somewhat explicit at the level of $\mathsf{Calc}$-algebras. To do this, we prove that the operad $\mathsf{Calc}$ is inhomogeneous Koszul; to our best knowledge, this result is new. We illustrate our technique by carrying out some computations for two monomial associative algebra using the cofibrant replacement obtained by the author in 1804.01435.

研究の動機と目的

• 結合的代数のTamarkin–Tsygan微分積分法を、コフibrantな分解における内在的構造を用いてホモトピー不変かつ計算可能な記述を提供すること。
• 色付きオペラッド $Σ\mathsf{Calc}$ が非均一的クズルであることを確立すること、これは以前に未知の結果である。
• 結合的代数の準自由モデルに関連する非可換多項ベクトル場および微分形式の複体 $(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ 上に $Σ\mathsf{Calc}_{∞}$-代数構造を構成すること。
• このモデルを通じて、Hochschildコホモロジーおよびコホモロジー構造（特にゲルステンハーバー括弧およびコホモロジーへの作用）の明示的計算を可能にすること。
• Stasheff の内在的記述をホモトピー的整合性を持つ枠組みへ拡張し、ホモロジー上の古典的微分積分法を回復すること。

提案手法

• 結合的代数 $A$ のコフibrantなリプレースメントとしての準自由な結合的代数 $B = (TV, d)$ を用い、導来構造を通じた微分積分法の計算を可能にする。
• 非可換多項ベクトル場 $\mathcal{X}^*(B) = \operatorname{cone}(\operatorname{Ad}: B \to \operatorname{Der}(B))$ および非可換微分形式 $\Theta_*(B) = \operatorname{cone}(C: V \otimes B \to B)$ の定義。
• オペラッドの非均一的クズル双対性理論を用いて、$(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ 上に $Σ\mathsf{Calc}_{∞}$-代数構造を構成する。
• 微分積分法の演算の明示的公式：カップ積はブラス作用 $\{X,Y;d\}$ で与えられ、リーブラケットは自己同型の交換子として、微分は $d\omega = \sum (-1)^\varepsilon v_{i+1}\cdots v_n v_1\cdots v_{i-1} dv_i$ で与えられる。
• Kontsevich–Soibelman オペラッド $\mathsf{KS}$ および $C_*(\mathsf{Cyl})$ の形式的性を用いて、$Σ\mathsf{Calc}_{∞}$-構造とHochschild複体のホモロジーとの関係を確立する。
• 導来構造を用いて、単項代数のHochschildコホモロジー $\mathrm{HH}^*(A)$ およびコホモロジー $\mathrm{HH}_*(A)$ を計算し、コホモロジー群の明示的基底を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的代数のTamarkin–Tsygan微分積分法は、Stasheff のようにバー構成と余自己同型を用いて内在的に記述可能か？
• RQ2 微分積分法構造を支配する色付きオペラッド $\mathsf{Calc}$ は非均一的クズルか？
• RQ3 結合的代数の準自由モデルの非可換多項ベクトル場および微分形式の複体上に $Σ\mathsf{Calc}_{∞}$-代数構造を構成可能か？
• RQ4 このモデルにおけるカップ積、ゲルステンハーバー括弧、微分の明示的公式は何か？
• RQ5 この枠組みを用いて、具体的な単項結合的代数のゲルステンハーバー代数構造およびHochschildコホモロジーをどのように計算できるか？

主な発見

• $\mathsf{Calc}$ オペラッドが非均一的クズルであることが証明され、これは新しい結果であり、基底対称列が $T(\delta) \circ \mathsf{PreCalc}^{\text{!}}$ に同型であるコフibrantな $\mathsf{Calc}_{\infty}$-モデルの構成を可能にする。
• 任意の準自由モデル $B \to A$ に対して、結合的代数 $A$ のTamarkin–Tsygan微分積分法 $\mathsf{Calc}_A$ はペア $(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ を用いて計算可能である。
• カップ積はブラス作用 $\{X,Y;d\}$ で与えられ、リーブラケットは標準的な自己同型の交換子として、微分は $d\omega = \sum (-1)^\varepsilon v_{i+1}\cdots v_n v_1\cdots v_{i-1} dv_i$ で与えられる。
• 単項代数 $A = \Bbbk\langle x,y,\Lambda,\Gamma \mid x^2=0, yx=0, \Lambda x=0, \Gamma y=0 \rangle$ に対して、$\mathrm{HH}^2(A)$ および $\mathrm{HH}^3(A)$ はそれぞれ2次元であり、導来 $\Phi_0, \Phi_1$ および $\Upsilon_0^0, \Upsilon_0^1$ の類によって明示的基底が与えられる。
• ゲルステンハーバー括弧作用は明示的に計算可能である。例えば、$[E_{s+2}, \Phi_t] = 3\Xi_{s+t+1} - 2\Theta_{s+t}$ であり、$\langle \Upsilon_s^t, \Phi_s \rangle$ 上では $[F_0, -] = [G_0, -] = 0$ となるが、$\langle \Omega_s^t \rangle$ 上では $[F_0, -] = [G_0, -] = 2$ となる。
• 循環コホモロジー $\mathrm{HC}_*(A)$ は次数0に集中し、$\Bbbk[\bar{y}]$ に同型である。また、$\mathrm{HH}_*(A)$ は次数 $>1$ で自明であり、$d: \mathrm{HH}_0(A) \to \mathrm{HH}_1(A)$ は同型である。