[論文レビュー] The Tate conjecture for K3 surfaces in odd characteristic

Keerthi Madapusi Pera|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、奇数の特異的特徴を持つ有限生成体上のK3曲面に対して、Tate予想を、除法的を実現するKuga-Satakeアーベル多様体を構成することにより証明する。このアプローチにより、Tate予想はアーベル多様体の自己準同型に関する洗練された形に還元され、その証明にはシュイマ多様体の整数的モデルとクリスタリン適合性が用いられる。この方法により、奇数の特異的特徴における立方四重のcodimension-2サイクルに対してもTate予想が成立することが示される。

ABSTRACT

We show that the classical Kuga-Satake construction gives rise, away from characteristic 2, to an open immersion from the moduli of primitively polarized K3 surfaces (of any fixed degree) to a certain regular integral model for a Shimura variety of orthogonal type. This allows us to attach to every polarized K3 surface in odd characteristic an abelian variety such that divisors on the surface can be identified with certain endomorphisms of the attached abelian variety. In turn, this reduces the Tate conjecture for K3 surfaces over finitely generated fields of odd characteristic to a version of the Tate conjecture for certain endomorphisms on the attached Kuga-Satake abelian variety, which we prove. As a by-product of our methods, we also show that the moduli stack of primitively polarized K3 surfaces of degree 2d is quasi-projective and, when d is not divisible by p^2, is geometrically irreducible in characteristic p. We indicate how the same method applies to prove the Tate conjecture for co-dimension 2 cycles on cubic fourfolds.

研究の動機と目的

• 奇数の特異的特徴を持つ有限生成体上のK3曲面に対するTate予想を証明すること。
• 奇数の特異的特徴において、K3曲面上の除法的とKuga-Satakeアーベル多様体の自己準同型との間に幾何的対応を確立すること。
• この手法を立方四重のcodimension-2サイクルに対しても拡張し、奇数の特異的特徴におけるTate予想を証明すること。
• 特異的特徴が $p^2$ で割り切れないとき、プリミティブに極化されたK3曲面のモジュライスタックが奇数の特異的特徴において準射影的かつ幾何的に既約であることの証明。

提案手法

• 古典的なKuga-Satake構成を奇数の特異的特徴に拡張し、基本体の有限分離拡大上にKuga-Satakeアーベル多様体を構成する。
• K3曲面の族上でKuga-Satake構成の整数的クリスタリン適合性を証明し、正規的シュルレ多様体への周期写像がエタールであることを保証する。
• エタール周期写像とTorelli定理を用いて、Kuga-Satake写像が開埋め込みであることを示し、除法的を特徴的0に持ち上げることを可能にする。
• 特徴的0におけるLefschetz (1,1)定理を用いて、K3曲面上の除法的とKuga-Satakeアーベル多様体の特別な自己準同型とを同定する。
• 直交的シュイマ多様体の整数的標準モデルの理論を応用し、Kuga-Satake対応を $\mathbb{Z}[2^{-1}]$ に下りる。
• 立方四重への応用のために、自己双対的格子 $M'$ とレベル構造を用いて、$(21,2)$ 型のシュイマ多様体へのKuga-Satake写像を構成し、エタール性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の特異的特徴におけるK3曲面のTate予想は、Kuga-Satakeアーベル多様体の自己準同型に関する命題に還元可能か？
• RQ2 Kuga-Satake構成は、奇数の特異的特徴において、極化の直交補空間をアーベル多様体の自己準同型代数に自然に埋め込むか？
• RQ3 特異的特徴 $p$ において、次数 $2d$ のプリミティブに極化されたK3曲面のモジュライスタックが $p^2 \nmid d$ のとき幾何的に既約か？
• RQ4 K3曲面に対して用いられた手法を、奇数の特異的特徴における立方四重のcodimension-2サイクルのTate予想を証明するために適応可能か？
• RQ5 立方四重の文脈において、$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上のシュイマ多様体へのKuga-Satake周期写像はエタールか？

主な発見

• 奇数の特異的特徴における有限生成体上のK3曲面に対して、Tate予想が成立し、$\ell$-adicチャーン類写像が同型である。
• Kuga-Satake構成により、自然な単射 $\langle\xi\rangle^\perp \hookrightarrow \operatorname{End}(A)$ が誘導され、K3曲面上の除法的とアーベル多様体の特別な自己準同型とが同定される。
• 特異的特徴 $p$ において、次数 $2d$ のプリミティブに極化されたK3曲面のモジュライスタックは、$p^2 \nmid d$ のとき準射影的かつ幾何的に既約である。
• 奇数の特異的特徴における立方四重のcodimension-2サイクルに対して、Tate予想が成立し、$\ell$-adicサイクル類写像が同型である。
• 立方四重のKuga-Satake周期写像はエタールであり、整数的モデルへの誘導写像は十分に小さなレベル構造に対して開埋め込みである。
• 通常の立方四重を用いた密度論的議論と一般の場合への伝播により、Kuga-Satake構成の整数的クリスタリン適合性が確立される。