[論文レビュー] The third homology of SL_2 of local rings

Kevin Hutchinson|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所環上の $\ mathrm{SL}_2$ の3番目のホモロジー群を、$\ mathbb{Z}[1/2]$-係数で、洗練されたブロッホ群の構成を用いて計算し、ススリンの定理を体から局所整域へ一般化している。離散付値環に対して、局所化完全列を確立し、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_v), \mathbb{Z}[1/2])$ を $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2])$ と洗練された剪断合同群 $\ mathcal{RP}_1(k)$ に結びつける。これにより、$p \geq 11$ のとき $\ mathbb{Z}_p$ のような環に対して明示的な計算が可能になる。主な貢献は、$K^\mathrm{ind}_3(A)[1/2]$ と $\ mathcal{RP}_1(k)$ を用いた $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$ の構造的記述であり、古典的な結果を非体の環へ拡張している。

ABSTRACT

We describe the third homology of SL_2 of local rings over Z[1/2] in terms of a refined Bloch group. We use this to derive a localization sequence for the third homology of SL_2 of certain discrete valuation rings, and to make explicit computations for p-adic integers and other local rings.

研究の動機と目的

• 体から局所整域へ、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2])$ のブロッハ＝ワインナーリング完全列を一般化すること。
• 局所整域 $A$ に対して、洗練されたブロッホ群 $\ mathcal{RB}(A)$ を用いて $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$ を記述すること。
• 離散付値環に対して、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_v), \mathbb{Z}[1/2])$ を $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2])$ と $\ mathcal{RP}_1(k)$ に結びつける局所化完全列を確立すること。
• $p \geq 11$ のとき、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_p), \mathbb{Z}[1/2])$ を明示的に計算し、$K^\mathrm{ind}_3(\mathbb{Q}_p)[1/2]$ に同型であることを示すこと。

提案手法

• 論文は、$\ mathcal{RP}(k)$ の部分加群として定義される、洗練された剪断合同群 $\ mathcal{RP}_1(k)$ を用い、局所化写像の余核をモデル化する。
• スペクトル系列の議論を構築し、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$ を洗練されたブロッホ群 $\ mathcal{RB}(A)$ に結びつける。エッジ準同型が $\ mathcal{RB}(A)[1/2]$ に値をとることを示す。
• 方法は、$A^\times / (A^\times)^2$ のホモロジーへの作用に依存しており、$\ mathcal{RB}(A)$ は明示的な表示を用いて $\ mathbb{R}_A$-加群として定義される。
• ミルツァイとモカラの局所環における $K^\mathrm{ind}_3$ の結果を用い、2を逆元にした後、同型を導出する。
• 鋭い交比写像を適用し、$H_3((L_\bullet)_{\mathrm{SL}_2(A)}) \cong \mathcal{RP}_1(A)$ を同定し、3階の元が $\ mathcal{RP}_1(A)$ の生成元へ写ることを示す。
• 単位元 $x \in A^\times$ に対して $\ left\langle\!\left\langle x \right\rangle\!\right\rangle D_A = \psi_1(x) - \psi_2(x)$ が成り立ち、$x = \pm \Phi(a)u^2$ ならば $\ left\langle\!\left\langle x \right\rangle\!\right\rangle D_A = 0$ であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所環上の $\ mathrm{SL}_2$ の3番目のホモロジー群は、代数的 $K$-理論と剪断合同群を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 有限の残渣体をもつ局所整域へ、体に対するブロッハ＝ワインナーリング完全列は拡張可能か？
• RQ3 離散付値環の $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2)$ に対して、その体の分数体と残渣体に結びつく局所化完全列を構成できるか？
• RQ4 素数 $p \geq 11$ のとき、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_p), \mathbb{Z}[1/2])$ の構造は何か？
• RQ5 $A^\times / (A^\times)^2$ の $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$ への作用は、洗練されたブロッホ群 $\ mathcal{RB}(A)$ とどのように関係するか？

主な発見

• 残渣体が10個以上の元をもつ局所整域 $A$ に対して、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$ は短完全列 $0 \to \mathrm{tor}(\mu_A, \mu_A)[1/2] \to \mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2]) \to \mathcal{RB}(A)[1/2] \to 0$ に含まれる。
• 残渣体が十分に大きい任意の局所整域 $A$ に対して、自然な写像 $\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])_{A^\times} \to K^\mathrm{ind}_3(A)[1/2]$ は同型である。
• 残渣体 $k$ が $U_1 = U_1^2$ を満たし、技術的3 torsion 条件を満たす離散付値環 $\ mathcal{O}_v$ に対して、局所化完全列 $0 \to \mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_v), \mathbb{Z}[1/2]) \to \mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2]) \to \mathcal{RP}_1(k)[1/2] \to 0$ が成り立つ。
• 洗練された剪断合同群 $\ mathcal{RP}_1(k)$ は明示的に計算可能であり、$\ mathcal{RB}(k)$ を部分加群として含み、[5] に例が示されている。
• $p \geq 11$ のとき、$\ mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_p), \mathbb{Z}[1/2]) \cong K^\mathrm{ind}_3(\mathbb{Q}_p)[1/2]$ であり、ホモロジー群が $p$-進体の非分解的 $K_3$ に同型であることが示された。
• 3階の元 $C = C(x,y) \in \mathcal{RP}_1(A)$ は $x,y$ に依存せず、$3C = 0$ を満たし、$\ mathcal{RB}(A)$ に属する。これにより、エッジ準同型の像が $\ mathcal{RB}(A)[1/2]$ に含まれることが確認された。