[論文レビュー] The Thom-Sebastiani theorem for the Euler characteristic of cyclic L-infinity algebras

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元3の巡回$L_\infty$-代数で、コホロロジーが1次と2次に集中する有限次元の場合に、オイラー乗数のトム＝セバスティアーニ型公式を確立する。コホロロジー上の巡回$L_\infty$-構造から超ポテンシャル関数を構成し、その解析的ミルナー・ファイバーのエタールコホロロジーを通じてオイラー乗数を定義する。直和に関して乗法的公式が成り立つことを証明し、これはカルラヤ3次元多様体上のベーリング関数およびモチーフ的ドナルドソン＝トーマス不変量に対するジョイス＝ソンの恒等式を含意する。

ABSTRACT

Let $L$ be a cyclic $L_\infty$-algebra of dimension $3$ with finite dimensional cohomology only in dimension one and two. By transfer theorem there exists a cyclic $L_\infty$-algebra structure on the cohomology $H^*(L)$. The inner product plus the higher products of the cyclic $L_\infty$-algebra defines a superpotential function $f$ on $H^1(L)$. We associate with an analytic Milnor fiber for the formal function $f$ and define the Euler characteristic of $L$ is to be the Euler characteristic of the étale cohomology of the analytic Milnor fiber. In this paper we prove a Thom-Sebastiani type formula for the Euler characteristic of cyclic $L_\infty$-algebras. As applications we prove the Joyce-Song formulas about the Behrend function identities for semi-Schur objects in the derived category of coherent sheaves over Calabi-Yau threefolds. A motivic Thom-Sebastiani type formula and a conjectural motivic Joyce-Song formulas for the motivic Milnor fiber of cyclic $L_\infty$-algebras are also discussed.

研究の動機と目的

• 巡回$L_\infty$-代数の幾何的オイラー乗数を、解析的ミルナー・ファイバーを用いて定義する。
• このような代数の直和に関して、オイラー乗数のトム＝セバスティアーニの公式を確立する。
• 結果を応用し、カルラヤ3次元多様体の導来カテゴリ−における半シュール対象のベーリング関数に関するジョイス＝ソンの恒等式を証明する。
• モチーフ的ミルナー・ファイバーを用いて、ジョイス＝ソンの公式のモチーフ的バージョンを定式化し、予想を提示する。

提案手法

• コンツェビッチ＝ソイベルマンの転送定理を用いて、コホロロジー$H^*(L)$上に巡回$L_\infty$-代数構造を構成する。
• 巡回$L_\infty$-構造から、複素形式的冪級数環$\mathbb{C}[[t]]$値の超ポテンシャル関数$f$を$H^1(L)$上に定義する。
• 特殊な形式的$R$-スキーム$\mathfrak{X} = \mathrm{spf}(R\{T\}[[S]]/ (f-t))$を構成し、その一般化ファイバー$\mathfrak{X}_\eta$を単位円板の積内に埋め込む。
• 特化写像による前像として解析的ミルナー・ファイバー$\mathfrak{F}_P(f)$を定義し、そのエタールコホロロジーのオイラー乗数を$\chi(L)$と定める。
• トム＝セバスティアーニの公式を証明する：巡回$L_\infty$-代数でコホロロジーが1次と2次にある場合、$(1 - \chi(L_1 \oplus L_2)) = (1 - \chi(L_1))(1 - \chi(L_2))$が成り立つ。
• モチーフ的ミルナー・ファイバーに対するモチーフ的トム＝セバスティアーニの公式を予想し、ジョイス＝ソンの恒等式をモチーフ的設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタールコホロロジーによる解析的ミルナー・ファイバーのオイラー乗数で定義された巡回$L_\infty$-代数のオイラー乗数は、直和に関してトム＝セバスティアーニの性質を満たすか？
• RQ2 カルラヤ3次元多様体上のベーリング関数に関するジョイス＝ソンの恒等式は、$L_\infty$-代数を用いたオイラー乗数の幾何的構成から導けるか？
• RQ3 巡回$L_\infty$-代数に付随するモチーフ的ミルナー・ファイバーに対するモチーフ的トム＝セバスティアーニの公式は存在するか？
• RQ4 導来カテゴリ−における一貫的層の圏上のカルラヤ3次元多様体において、モチーフ的ミルナー・ファイバーは直和および拡張データに関してどのように振る舞うか？

主な発見

• 巡回$L_\infty$-代数$L$のオイラー乗数$\chi(L)$は、その超ポテンシャル関数$f$の解析的ミルナー・ファイバーのエタールコホロロジーのオイラー乗数として定義される。
• 本稿は、コホロロジーが1次と2次にある巡回$L_\infty$-代数に対して、$(1 - \chi(L_1 \oplus L_2)) = (1 - \chi(L_1))(1 - \chi(L_2))$というトム＝セバスティアーニの公式を証明する。
• この公式は、カルラヤ3次元多様体の導来カテゴリ−における一貫的層の半シュール対象のベーリング関数に関するジョイス＝ソンの恒等式を含意する。
• モチーフ的トム＝セバスティアーニの公式を予想する：$(1 - \mathcal{S}_{(0,0)}(E_1 \oplus E_2)) = (1 - \mathcal{S}_0(E_1))(1 - \mathcal{S}_0(E_2))$ はモチーフ的ミルナー・ファイバーに対して成り立つ。
• この予想は、モチーフ的ホール代数からモチーフ的量子トーラスへの準同型がポアンカーレ準同型であることを示唆し、モチーフ的ドナルドソン＝トーマス不変量のウォールクロッシング公式を支持する。