[論文レビュー] The time at which a Lévy process creeps

Philip S. Griffin, Ross Maller|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2011

Probability and Risk Models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Lévy過程がレベル $ u $ を這い上がることの時間は、二変量上昇ラッダープロセスの再生関数 $ V(t,u) $ の左微分によって特徴づけられ、高さ成分 $ H $ のドリフトの逆数でスケーリングされることを確立する。主な貢献は、DoneyとKyprianouの五重法則における欠落していた這い上がり項を同定し、PercheskiiとRogozinの第二因子分解恒等式を拡張する一般化されたラプラス変換恒等式を導出することにある。

ABSTRACT

We show that if a Lévy process creeps then, as a function of $u$, the renewal function $V(t,u)$ of the bivariate ascending ladder process $(L^{-1},H)$ is absolutely continuous on $[0,\infty)$ and left differentiable on $(0,\infty)$, and the left derivative at $u$ is proportional to the (improper) distribution function of the time at which the process creeps over level $u$, where the constant of proportionality is $ md_H^{-1}$, the reciprocal of the (positive) drift of $H$. This yields the (missing) term due to creeping in the recent quintuple law of Doney and Kyprianou (2006). As an application, we derive a Laplace transform identity which generalises the second factorization identity. We also relate Doney and Kyprianou's extension of Vigon's équation amicale inversée to creeping. Some results concerning the ladder process of $X$, including the second factorization identity, continue to hold for a general bivariate subordinator, and are given in this generality.

研究の動機と目的

• Lévy過程がレベル $ u $ を這い上がることの時間の分布を、特に二変量上昇ラッダープロセスの観点から特徴づけること。
• DoneyとKyprianou（2006）の五重法則において、これまで跳躍路の寄与を無視していた這い上がり項を明示的に同定すること。
• 這い上がりメカニズムから導かれるラプラス変換恒等式を用いて、PercheskiiとRogozin（1969）の第二因子分解恒等式を這い上がり寄与を含む形に一般化すること。
• 二変量ラッダープロセスに関する結果を一般二変量サブオルジネーターに拡張し、第二因子分解恒等式がより広範な変換結果の特別な場合であることを明らかにすること。
• 這い上がり現象がDoneyとKyprianouによるVigonの『友愛方程式の逆』の拡張とどのように関係するかを明らかにし、フラクチュエーション理論におけるその役割を明確にすること。

提案手法

• 二変量上昇ラッダープロセス $ (L^{-1}, H) $ の再生関数 $ V(t,u) $ を分析し、這い上がることがあるとき、$ (0,\infty) $ で絶対連続的かつ左微分可能であることを示す。
• $ V(t,u) $ の $ u $ における左微分が、這い上がり時間の（不適切な）分布関数に比例することを導出し、比例定数は高さ成分 $ H $ のドリフトの逆数 $ \text{d}_H^{-1} $ である。
• ウィーナー＝ホプフ因数分解と双対性を用い、双対過程 $ \t{X} $ を介してラッダーハイツと逆局所時間の連続分布を這い上がりメカニズムに関連付ける。
• 補償公式を適用し、ラッダープロセスのジャンプ分布を元の過程のLévy測度 $ \t{\t{P}}_{L^{-1},H} $ で表し、元の過程のジャンプ測度と関連付ける。
• 二変量再生関数を統合し、双対過程のラッダ構造に関連付けることで、這い上がり時間分布のためのラプラス変換恒等式を導出する。
• 一般二変量サブオルジネーターに対する変換結果を確立し、第二因子分解恒等式がこの広範な枠組みの特別な場合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 這い上がり時間分布と二変量上昇ラッダープロセスの再生関数の間の正確な関係は何か？
• RQ2 DoneyとKyprianou（2006）の五重法則における欠落していた這い上がり項は、どのように明示的に同定され、表現されるか？
• RQ3 PercheskiiとRogozin（1969）の第二因子分解恒等式は、這い上がり寄与を含む形に、ラプラス変換恒等式を用いて一般化可能か？
• RQ4 Lévy過程の二変量ラッダープロセスに関する結果は、一般二変量サブオルジネーターにどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 這い上がりメカニズムは、DoneyとKyprianouによるVigonの『友愛方程式の逆』の拡張とどのように関係するか？

主な発見

• Lévy過程が這い上がるとき、二変量上昇ラッダープロセスの再生関数 $ V(t,u) $ は $ (0,\infty) $ で絶対連続的かつ左微分可能である。
• $ V(t,u) $ の $ u $ における左微分は、這い上がり時間の累積分布関数に比例し、比例定数は高さ成分 $ H $ のドリフトの逆数 $ \text{d}_H^{-1} $ である。
• 五重法則における欠落していた這い上がり項は、 $ \text{d}_H^{-1} \times \text{這い上がり時間のCDF} $ として同定され、フラクチュエーション理論の枠組みが完成する。
• 這い上がり路を含む第二因子分解恒等式を拡張する一般化されたラプラス変換恒等式が導出された。
• 第二因子分解恒等式が、一般二変量サブオルジネーターに対する広範な変換結果の特別な場合であることが示され、これはこれまでの文献で気づかれていなかった。
• 這い上がりメカニズムが、DoneyとKyprianouによるVigonの『友愛方程式の逆』の拡張と正式に関連付けられ、Lévy過程のフラクチュエーション理論におけるその役割が明確化された。