[論文レビュー] The Trouble with Quantum Bit Commitment

Dominic Mayers|ArXiv.org|Mar 11, 1996

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、ブラッサード＝クレパ＝ジョズァ＝ラングロア（BCJL）量子ビットコミットメントプロトコルが、以前の安全性の主張にもかかわらず、最初の完全な証明を提供して不正であることを示している。著者は量子もつれと忠実度に基づく状態識別を活用し、アリスが少なくとも 4/25 の成功確率で不正を働くことができる戦略を示しており、これはビットコミットメントのバインディング性を破る。

ABSTRACT

In a recent paper, Lo and Chau explain how to break a family of quantum bit commitment schemes, and they claim that their attack applies to the 1993 protocol of Brassard, Crépeau, Jozsa and Langlois (BCJL). The intuition behind their attack is correct, and indeed they expose a weakness common to all proposals of a certain kind, but the BCJL protocol does not fall in this category. Nevertheless, it is true that the BCJL protocol is insecure, but the required attack and proof are more subtle. Here we provide the first complete proof that the BCJL protocol is insecure.

研究の動機と目的

• BCJL量子ビットコミットメントプロトコルが不正であることを、厳密かつ完全な証明により提示すること。
• ロウとチャウの攻撃がBCJLに適用されない理由を明確にし、プロトコルの独自構造ゆえに、より洗練された攻撃が必要であることを示すこと。
• 不正なアリスが量子もつれと状態忠実度を活用して、成功裏に不正を遂げられることを示し、バインディング条件を破ること。
• ビットコミットメントに依存する量子プロトコル（例：オーバーオールトランスファー）の安全性が、ビットコミットメントが不正である場合に不確実のままであることを示すこと。
• 光子の進行方向を逆転させたBCJLの変種ですら、より深い量子情報理論的欠陥のため失敗することを確立すること。

提案手法

• ウルマンの定理を用いて、コミットされたビット 0 と 1 に対応する密度行列 ρ₀ と ρ₁ の純粋化を構築する。
• アリスのアタッチメントとボブのキュービットを含む結合系における測定 M₁ を定義し、ボブの検証テスト T₁ に対応させる。
• ρ₀ と ρ₁ 間の忠実度 F を用いて、バタチャリャリヤ＝ウッタース距離の下界を示し、F ≥ 1 − 2ε が成り立つことを示す。
• 三角不等式とノルムの上限を用いて、ボブが不正なコミットを受理する確率が下界で抑えられることを示す。
• Pr(T₁(ok)|Φ=ϕ₁) ≥ 1−ε′ ならば、Pr(T₁(ok)|Φ=ϕ₀) ≥ 1−ε′−4√ε が成り立ち、これにより非無視可能な不正確率が得られることを示す。
• 量子測定の等長写像および射影形式を用いて、アリスとボブの測定の結合作用をエンタングル状態上でモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BCJL量子ビットコミットメントプロトコルは、かつて安全性が主張されたにもかかわらず、安全に実装可能か？
• RQ2 ロウとチャウの攻撃がなぜBCJLプロトコルに適用されないのか。そして、代替の攻撃戦略は何か？
• RQ3 BCJLプロトコルにおいて、アリスが量子もつれと状態識別を用いて達成できる最大の不正確率は何か？
• RQ4 密度行列 ρ₀ と ρ₁ 間の忠実度は、プロトコルにおける不正成功確率とどのように関係しているか？
• RQ5 光子の進行方向を逆転させたBCJLの変種も、より深い量子情報理論的制限のため不正であるとされるか？

主な発見

• BCJLプロトコルは不正である。不正なアリスはもつれた状態を準備することで、少なくとも 4/25 の成功確率で不正を遂げられることを示している。
• ビット 0 と 1 をコミットした状態に対応する密度行列 ρ₀ と ρ₁ 間の忠実度 F は、F ≥ 1 − 2ε を満たす。ここで ε は小さな誤差パラメータである。
• バタチャリャリヤ＝ウッタース距離 BW は 1−2ε で下界が抑えられ、この下界は忠実度 F と直接関係している。
• ウルマンの定理により、ρ₀ と ρ₁ の純粋化 |ϕ₀⟩ と |ϕ₁⟩ が存在し、|⟨ϕ₀|ϕ₁⟩|² ≥ 1−2ε を満たす。
• アリスが b=0 をコミットしているにもかかわらず、ボブが不正なコミット（b=1）を受理する確率は、1−ε′−4√ε で下界が抑えられる。ここで ε′=1/25 である。
• これにより、不正確率が少なくとも 4/25 に達し、非無視可能な値となり、ビットコミットメントのバインディング条件に反する。