[論文レビュー] The twisted second moment of modular half integral weight $L$--functions

Alexander R. Dunn, Alexandru Zaharescu|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2019

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ひとこと要約

本稿は、半整数重の $L$-関数（Kohnen新形式に付随）のねじれた第二モーメントについて、無条件の漸近公式を、べき乗で改善された誤差項を伴って確立する。この結果は、非平衡なずらし畳み込みのスペクトル解析と、Salié和の積に対する評価を用いる。この結果は、Euler積を持たない $L$-関数に対する鋭い Lindelöf 平均推定値を確認し、Hoffsteinの予想を解決するとともに、非整数重形式への $L$-関数モーメント理論を拡張する。

ABSTRACT

Given a half-integral weight holomorphic Kohnen newform $f$ on $Γ_0(4)$, we prove an asymptotic formula for large primes $p$ with power saving error term for \begin{equation*} \sideset{}{^*} \sum_{χ\hspace{-0.15cm} \pmod{p}} | L(1/2,f,χ) |^2. \end{equation*} Our result is unconditional, it does not rely on the Ramanujan--Petersson conjecture for the form $f$. This gives a very sharp Lindelöf on average result for Dirichlet series attached to Hecke eigenforms without an Euler product. The Lindelöf hypothesis for such series was originally conjectured by Hoffstein. There are two main inputs. The first is a careful spectral analysis of a highly unbalanced shifted convolution problem involving the Fourier coefficients of half-integral weight forms. The second input is a bound for sums of products of Salié sums in the Polya--Vinogradov range. Half--integrality is fully exploited to establish such an estimate. We use the closed form evaluation of the Salié sum to relate our problem to the sequence $αn^2 \pmod{1}$. Our treatment of this sequence is inspired by work of Rudnick--Sarnak and the second author on the local spacings of $αn^2$ modulo one.

研究の動機と目的

• $\Gamma_0(4)$ 上の半整数重正則カスプ形式に付随する $L$-関数のねじれた第二モーメントに対する漸近公式を確立すること。
• この結果を、形式 $f$ に対する Ramanujan–Petersson 予想を仮定せずに、無条件で証明すること。
• Euler積を持たない $L$-級数への $L$-関数モーメント理論を、特に半整数重形式へ拡張すること。
• 現在の解析的数論技術の限界に達するまで、漸近公式におけるべき乗で改善された誤差項を達成すること。
• Euler積を持たない $L$-関数に対する鋭い Lindelöf 平均推定値を提供し、Hoffsteinの予想を確認すること。

提案手法

• 半整数重モジュラー形式のフーリエ係数を含む極めて非対称なずらし畳み込み和を、スペクトル法で解析すること。
• 半整数重の性質を活用してキャンセルを導くことで、Polya–Vinogradov 範囲における Salié 和の積の新しい評価を得ること。
• Salié 和の閉形式評価を用いて、問題を $\alpha n^2 \pmod{1}$ の一様分布に結びつける。Rudnick–Sarnak および Zaharescu の局所的間隔統計に関するアイデアを活用する。
• 詳細な dyadic 分解と周波数局在化を実行し、ずらし畳み込み和における誤差項を制御すること。
• 除数評価と指標和推定値を用いて、特定の合同式の解の個数を制御し、$O(p^\varepsilon)$ 型の解の個数の評価を保証すること。
• スペクトル法と指数和技術を組み合わせ、主要誤差項を評価し、最終的にモーメント公式におけるべき乗で改善された誤差項を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ramanujan–Petersson 予想を仮定せずに、半整数重 $L$-関数のねじれた第二モーメントに対して、べき乗で改善された誤差項を伴う漸近公式を確立できるか？
• RQ2 スペクトル法は、半整数重形式に由来する非対称なずらし畳み込み問題にどのように適用できるか？
• RQ3 形式が半整数重であるとき、Polya–Vinogradov 範囲における Salié 和の積の和に対して、どのような評価が得られるか？
• RQ4 $\alpha n^2 \pmod{1}$ の一様分布は、$L$-関数モーメントの文脈で指数和を制御するためにどの程度利用可能か？
• RQ5 Euler積を持たない半整数重 Hecke 固有形式に付随する $L$-関数に対して、平均的な Lindelöf 予想は成り立つか？

主な発見

• 大いなる素数 $p$ に対して、$\sum_{\chi \pmod{p}}^{\ast} |L(1/2, f, \chi)|^2$ に対して、無条件の漸近公式が、べき乗で改善された誤差項を伴って証明された。
• 誤差項は $O_{\varepsilon}(p^{1 - \delta})$ であり、$\delta > 0$ である。パラメータ $\bm{\delta} = (11/288, 11/48, 25/36, 407/432, 11/96, 11/96)$ の選択により明示的に定量化された。
• この結果は、Euler積を持たない $L$-関数に対する鋭い Lindelöf 平均推定値を確認し、Hoffsteinの予想を支持する。
• Ramanujan–Petersson 予想に依存せず、結果は無条件である。
• 列 $\alpha n^2 \pmod{1}$ の解析が中心的役割を果たし、その局所的間隔統計が指数和の制御に用いられた。
• Salié 和の積の評価は、閉形式式の新規応用とディオファントス近似技術を用いて確立された。