[論文レビュー] The two-loop sunrise integral around four space-time dimensions and generalisations of the Clausen and Glaisher functions towards the elliptic case

Luise Adams, Christian Bogner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、2次元時空次元周辺のループ積分の $\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ および $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項に帰着させることで、4次元時空における質量が不等な2ループSunrise積分の有限部分を計算する。$\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項を表現するために、ClausenおよびGlaisher関数の新しい楕円型一般化を導入し、深さ2の楕円的対象および混合超越的重み（3および4）を明らかにした。これにより、量子場理論における楕円型多polylogarithmの構造に新たな知見が得られる。

ABSTRACT

We present the result for the finite part of the two-loop sunrise integral with unequal masses in four space-time dimensions in terms of the ${\mathcal O}(\varepsilon^0)$-part and the ${\mathcal O}(\varepsilon^1)$-part of the sunrise integral around two space-time dimensions. The latter two integrals are given in terms of elliptic generalisations of Clausen and Glaisher functions. Interesting aspects of the result for the ${\mathcal O}(\varepsilon^1)$-part of the sunrise integral around two space-time dimensions are the occurrence of depth two elliptic objects and the weights of the individual terms.

研究の動機と目的

• 4次元時空における質量が不等な2ループSunrise積分の有限部分を計算し、量子場理論において物理的に関連する状況を扱う。
• 特に高さと重みの高いタイプの多重polylogarithmの楕円型一般化の構造を理解すること。
• $D=2$ 時空次元周辺の $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項を分析することで、物理的振幅に実現される楕円型polylogarithmの数学的定義を同定すること。
• $D=4$ 維度における $\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ および $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項と、$D=2$ 維度におけるそれらの項を結ぶ次元シフト関係を確立すること。
• 対象となるSunrise積分の有限部分を、対数関数および楕円関数の寄与を含めて、完全な解析的表現で与えること。

提案手法

• 次元正則化を $D = 4 - 2\varepsilon$ 次元で用い、Sunrise積分を $\varepsilon$ のべき級数に展開し、$\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ 項に注目する。
• 次元シフト恒等式を適用し、4次元における有限部分を2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ および $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項に結びつける。
• 2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ 項は先行研究により既知であり、楕円型ディログラム関数で表現される。
• 2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項は、Sunrise積分の微分方程式を解き、周期積分から得られる境界値を用いることで計算される。
• 深さ2の構造と混合重みを捉えるために、ClausenおよびGlaisher関数の新しい楕円型一般化を導入し、$\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 結果を表現する。
• 最終的な結果は、質量比の対数関数および新たに定義された楕円関数で表され、4次元における有限部分の明示的解析式が与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元時空における2ループSunrise積分に現れる、特に2次元周辺の $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項において、どの多重polylogarithmの一般化が現れるか。
• RQ2 2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項に現れる特殊関数の超越的重みおよび深さは、積分の背後にある数学的構造をどのように反映しているか。
• RQ3 2次元周辺の $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項に深さ2の楕円的対象が現れる物理的意義は何か。
• RQ4 $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項の係数は質量配置にどのように依存し、等質量極限ではどのような振る舞いを示すか。
• RQ5 次元正則化におけるSunrise積分の物理的構造が、ClausenおよびGlaisher関数のどの楕円型一般化を自然に選ぶか。

主な発見

• 4次元時空における2ループSunrise積分の有限部分は、次元シフト恒等式により、2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ および $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項に完全に表現される。
• 2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項は、ClausenおよびGlaisher関数の新しい楕円型一般化を用いて計算され、振幅に現れる深さ2の構造を捉えている。
• 結果には重み3および重み4の項が含まれており、振幅の超越的構造が一様な重みではないことが示され、これは楕円型の場合の重要な特徴である。
• $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項の係数は、対称多項式および $m_i^2/\mu^2$ の対数項を通じて質量に依存し、係数には明示的な質量の有理関数が現れる。
• 等質量極限において、$\mathcal{O}(\varepsilon^1)$ 項の係数は消え、4次元における有限部分は2次元における $\mathcal{O}(\varepsilon^0)$ 項にのみ依存するようになる。
• 本稿では、$\ln(m_i^2/\mu^2)$、$\ln^2(m_i^2/\mu^2)$、および混合対数積を含む4次元における有限部分の明示的解析式が提供され、これらはすべて新たに定義された楕円関数と組み合わされている。