[論文レビュー] The Ultraviolet Structure of Quantum Field Theories. Part 3: Gauge Theories

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 98被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、(2+1)次元のアーベルゲージ理論における厳密で摂動論的でない格子-連続体対応を確立し、連続体量子場理論（マクスウェル理論、QED、チェーン＝シモンズ理論を含む）が、ゆっくりと変化する低運動量モードを選択する滑らかさの手続きを通じて格子 $π_K$ ゲージ理論から出現することを示している。主な貢献は、形式的 $a \to 0$ 限界を取らないで連続体ゲージ理論を定義することであり、有限格子に明確な前連続体基底と $k_S/N$ で制御される滑らかさ条件を導入することで、標準的な連続体的特徴（クーロンの法則、OPE構造など）の正確な回復を可能にしている。

ABSTRACT

This paper develops a detailed lattice-continuum correspondence for all common examples of Abelian gauge theories, with and without matter. These rules for extracting a continuum theory out of a lattice one represent an elementary way to rigorously define continuum gauge theories. The focus is on (2+1)D but the techniques developed here work in all dimensions. The first half of this paper is devoted to pure Maxwell theory. It is precisely shown how continuum Maxwell theory emerges at low energies in an appropriate parameter regime of the $\mathbb{Z}_K$ lattice gauge theory at large $K$. The familiar features of this theory -- its OPE structure, the distinction between compact and noncompact degrees of freedom, infrared "particle-vortex" dualities, and the Coulomb law behavior of its Wilson loop -- are all derived directly from the lattice. The rest of the paper studies gauge fields coupled to either bosonic or fermionic matter. Scalar QED is analyzed at the same level of precision as pure Maxwell theory, with new comments on its phase structure and its connections to the topological BF theory. Ordinary QED (Dirac fermions coupled to Maxwell theory) is constructed with an eye toward properly defining spinors and avoiding global anomalies. The conventional continuum QED is shown to arise from a specific restriction of the starting theory to smoothly varying fields. Such smoothing also turns out to be a necessary condition for Chern-Simons theory to arise from integrating out massive fermions in a path integral framework. In an effort to find a canonical origin of Chern-Simons theory that does not rely on path integral smoothing, a simple flux-attached lattice gauge theory is shown to give rise to a Chern-Simons-like action in the confining regime.

研究の動機と目的

• 格子形式から直接、形式的連続体限界 $a \to 0$ を避けて、連続体ゲージ理論を厳密に非摂動的に定義すること。
• 格子ゲージ理論が連続体限界に近づく際の基礎的曖昧さを解消すること、特に場が滑らかでないかカップリングが $O(a^0)$ でない場合に有効であるようにすること。
• クーロンの法則、OPE構造、赤外双対性といった標準的な連続体的特徴が、定義された滑らかさ処理を通じて格子モデルから直接導かれることが示されること。
• チェーン＝シモンズ理論が経路積分による滑らかさ処理だけでなく、コンfinement領域におけるフラックス付加格子モデルからも出現しうることを示すこと。
• 非アーベル理論および高次元理論における連続体限界の定義の基盤を築くこと、特に相転移と普遍性を含めて。

提案手法

• 整数粒子数固有値 $n_k \in \{0,1,\dots,J_k-1\}$ を持つ有限次元ヒルベルト空間を形成する、有限格子上のラダー演算子 $c_k, c_k^\dagger$ の前連続体基底を定義する。
• ハミルトニアンから得られる計量を備えた運動量空間 $\mathbb{P}$ を導入し、低エネルギーで滑らかに変化するモードの部分集合 $\mathbb{P}_S$ を「区分的連続的」として定義する。
• 高運動量モードを射影して、$n_k$ 及びそのべきのみを保持することで、滑らかで低エネルギーの有効理論を定義する連続体代数 $\mathcal{A}_S$ を構成する。
• この枠組みを用いて、$K \to \infty$ のとき $\mathbb{Z}_K$ 格子ゲージ理論におけるウィルソンループの振る舞い、OPE構造、および粒子-渦双対性を導出し、マクスウェル理論を回復する。
• 同じ手法をスカラーQEDおよびディラックフェルミオンを含むQEDに適用し、通常のQEDが滑らかな場への制限として現れることを示す。
• コンfinement領域におけるフラックス付加格子モデルを導入し、これによりチェーン＝シモンズ理論に類似した作用が得られ、CS理論の標準的で経路積分に依存しない起源を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的 $a \to 0$ 限界を取らないで、格子理論から連続体ゲージ理論を厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 格子場にどのような条件を課すと、クーロンの法則やOPE構造といった標準的な連続体的特徴が出現するか？
• RQ3 チェーン＝シモンズ理論が経路積分による滑らかさ処理やトポロジカルなねじれに依存せずに、格子構成から出現しうるか？
• RQ4 滑らかさ処理は、特に物質を含む場合に、格子ゲージ理論の相構造と普遍性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 場の滑らかさと「なめらかさ」（tame）性が、BF理論やチェーン＝シモンズ理論といった位相的場理論が格子モデルからどのように出現するかに果たす役割は何か？

主な発見

• $K$ が大きいときの $\mathbb{Z}_K$ 格子ゲージ理論の連続体限界は、クーロンの法則（ウィルソンループに対して）とOPE構造を含む完全なマクスウェル理論を再現する。
• $K \to \infty$ の極限において、格子理論は赤外領域の粒子-渦双対性を示し、既知の連続体双対性と整合していることが確認される。
• 通常のQEDは、格子理論を滑らかに変化する場への制限として得られ、フェルミオンのスピンターは格子上でのフェルミオンの二重化機構により適切に定義される。
• コンfinement領域におけるフラックス付加格子モデルは、チェーン＝シモンズに類似した作用を生じさせ、CS理論の標準的で経路積分に依存しない起源を提供する。
• この手法により、すべての物理的特徴が演算子代数的構造と滑らかさ制約から導かれる、非摂動的で有限格子の連続体ゲージ理論の定義が可能になる。
• このアプローチにより、コンfinement-脱コンフィネメントのような相転移を、形式的連続体限界に依存せずに、明確かつ定量的に取り扱えるようになる。