[論文レビュー] The Uniform Mordell-Lang Conjecture

Ziyang Gao, Tangli Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体内の部分多様体に対して、Uniform Mordell–Lang 猜想を証明し、Faltings 高さに依存しない、有限ランク部分群との交差における有理点の数に対する一様な上限を確立する。証明は一般化された新規ギャップ原理、ヒルベルト層、等分布技法に依拠し、Mordell–Lang 分解における有限集合 $ S $ のサイズに対して、$ c(g, \deg_L X)^{\mathrm{rk}\Gamma + 1} $ の形の上限を得る。

ABSTRACT

The Mordell--Lang conjecture for abelian varieties states that the intersection of an algebraic subvariety $X$ with a subgroup of finite rank is contained in a finite union of cosets contained in $X$. In this article, we prove a uniform version of this conjecture, meaning that that the number of cosets necessary does not depend on the ambient abelian variety. To achieve this, we prove a general gap principle on algebraic points that extends the gap principle for curves embedded into their Jacobians, previously obtained by Dimitrov--Gao--Habegger and Kühne. Our new gap principle also implies the full uniform Bogomolov conjecture in abelian varieties.

研究の動機と目的

• アーベル多様体内の部分多様体に対して Uniform Mordell–Lang 猜想を証明し、有限ランク部分群との交差における有理点の数に対する一様な上限を提供する。
• 上限の $ h_{\mathrm{Fal}}(A) $ および $ \deg_L A $ に依存しないようにし、生成数 $ g $ および $ \deg_L X $ のみに依存するようにする。
• ヒルベルト層および非退化性技法を用いて、ジャコビアン内の曲線に対する新規ギャップ原理を、任意のアーベル多様体の部分多様体へ一般化する。
• 同一の手法的枠組みにより、Uniform Bogomolov 猜想を副産物として確立する。

提案手法

• Masser の専らの補題を用いて、$ F = \overline{\mathbb{Q}} $ の場合に還元する。
• Rémond の Vojta の不等式および Mumford の不等式の定量的版を応用し、高さと次数を制御する。
• ヒルベルト層および Poincaré の双拡張を用いて、非退化部分多様体を構成し、極性型の有限性と制御を保証する。
• Mordell–Weil 格子 $ \Gamma \otimes \mathbb{R} $ における精密なボールパッキング論法を用いて、新規ギャップ原理を任意の部分多様体へ一般化する。
• 等分布定理および高さ不等式を用いて、Mordell–Lang 分解における小さな点の数を評価する。
• Grothendieck の有界なヒルベルト多項式に関する定理によりヒルベルト層の有限性が保証され、家族全体にわたる一様な上限が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のアーベル多様体内の部分多様体に対して、特にジャコビアン内の曲線に限らず、Uniform Mordell–Lang 猜想を証明できるか？
• RQ2 有理点の数に対する一様な上限において、$ \deg_L A $ および $ h_{\mathrm{Fal}}(A) $ に依存しないようにすることは可能か？
• RQ3 ヒルベルト層および非退化性を用いて、曲線のケースを超えて新規ギャップ原理を任意の部分多様体へ一般化できるか？
• RQ4 同じ一様な上限のもとで、アーベル多様体内の部分多様体に対して Uniform Bogomolov 猜想は成り立つか？
• RQ5 Mordell–Lang 分解における上限が、部分群 $ \Gamma $ のランクおよび $ X $ の次数にどのように依存するかが最適か？

主な発見

• 論文は定理 1.1 を証明する：$ \#S \leq c(g, \deg_L X)^{\mathrm{rk}\Gamma + 1} $ であり、定数 $ c $ は $ g $ および $ \deg_L X $ のみに依存し、$ \deg_L A $ や $ h_{\mathrm{Fal}}(A) $ とは無関係である。
• Uniform Bogomolov 猜想が副産物として証明され、$ X(F) \cap \Gamma $ の非ねじれ点の Néron–Tate 高さに対する一様な下界が確認された。
• 一般化された新規ギャップ原理が確立され、[ DGH20b, Küh21 ] の方法を、ヒルベルト層および非退化族を用いて曲線から任意の部分多様体へ拡張した。
• [ Gao20, Thm.10.1 ] を用いて、ヒルベルト層内に非退化部分多様体を構成し、家族の幾何的性質の制御および極性型の有限性を可能にした。
• $ X $ が $ A $ を生成する場合に還元することで、$ \deg_L A $ が $ g $ および $ \deg_L X $ のみに依存するようにし、すべてのアーベル多様体および部分多様体に対して一様な上限が得られることを示した。
• 最終的な上限は $ c^{\mathrm{rk}\Gamma + 1} $ の形であり、$ c $ は $ g $ および $ \deg_L X $ のみに依存するため、David–Philippon および Mazur の予想が一般に完全に確認された。