[論文レビュー] The volume operator in loop quantum cosmology

Wojciech Kamiński|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ループ量子宇宙論（LQC）およびホーキング＝デウィットモデル（k=0, Λ=0, 質量のないスカラー場と結合）において、体積演算子の期待値が、時間発展の過程で瞬時に無限大に発散するため、ほとんどすべての状態に対して定義されないことを示している。その原因は、体積スペクトルに存在する非可積分で長い尾部を持つ成分に起因する——これは半古典的に小さくはあるが、数値的に検出不能である。この事実は、量子力学的ダイナミクスが適切に定義されるように、ln V や arctan V といった有界な観測可能量に制限する必要があることを示唆している。

ABSTRACT

We show that for basically all states, the evolution of the expectation value of the volume operator in Wheeler-DeWitt and various homogenous isotropic loop quantum comology (LQC) models ($k=0$, coupled to massless scalar field and without cosmological constant) is ill-defined. The expectation value of the volume operator become instantonously infinite during the evolution. The effect is produced by a very long tail in the volume spectrum, that is however semiclassically small and beyond reach of numerical simulations (that is why it went unnoticed so far). This is not necessarily problem of theory but rather it suggests that one should be extremely careful with unbounded observables.

研究の動機と目的

• LQCおよびホーキング＝デウィットモデルにおける体積演算子の期待値の数学的定義可能性を調査すること。
• 半古典的に見える状態でも、期待値が定義されない原因を特定すること。
• 体積演算子の有界関数への制限によって、その解決策を提案すること。
• この問題が、非自己共役性や宇宙定数の効果によるものではなく、ハミルトニアンに含まれる平方根に起因することを明確にすること。

提案手法

• フーリエ変換および漸近展開技術を用いて、ホーキング＝デウィットモデルにおける時間発展状態のスペクトル密度を解析的に導出すること。
• 時間発展下で体積期待値が有限のままである唯一の状態は、ゼロベクトルまたはハミルトニアンの零固有ベクトルであることを証明すること。
• ガウス型状態の時間発展における体積スペクトル密度 ρ(v) ∼ 1/(v ln⁴v) を明示的に計算し、非可積分性を示すこと。
• 部分積分およびリーマン＝リーベグの補題を用いて、波動関数成分の漸近的挙動を導出すること。
• ハミルトニアンに絶対値を含む・含まないモデルを比較し、問題の尾部を生成する平方根の役割を特定すること。
• 群平均におけるセクター混合の観点から、正エネルギーの超選択規則を除去することで問題が解消する可能性があると仮説を立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜLQCおよびWDWモデルにおいて、体積演算子の期待値が、半古典的にピークしているにもかかわらず無限大に発散するのか？
• RQ2 期待値が定義されない原因となる、体積スペクトルにおける非可積分な尾部の起源は何か？
• RQ3 この問題は、数学的に重要であるにもかかわらず、なぜ数値シミュレーションでは検出されていなかったのか？
• RQ4 ln V や arctan V のような体積の有界関数は、定義された量子力学的ダイナミクスを回復できるか？
• RQ5 標準LQCにおける正エネルギー解への制限が、非物理的な人工的効果を引き起こし、定義されない原因となっているのか？

主な発見

• ホーキング＝デウィットモデルにおいて、時間発展下で体積期待値が有限のままである唯一の状態はゼロベクトルである。
• LQCモデルでは、ハミルトニアンの零固有ベクトルのみが有限性条件を満たし、APS や sLQC のような標準的モデルではそれらは自明である。
• 時間発展状態のスペクトル密度は、尾部 ρ(v) ∼ 1/(v ln⁴v) を示し、これは v を乗じた際に非可積分であるため、体積期待値が発散する。
• この尾部は初期状態の低エネルギー成分に起因し、e^{-2σp₀²} の因子によって抑制されるため、半古典的に小さく、数値シミュレーションでは検出不能である。
• 発散は非自己共役性や正の宇宙定数の効果によるものではなく、ハミルトニアン定義における平方根に起因する。
• 体積の有界関数、たとえば ln V や arctan V は、定義された期待値をもち、半古典的整合性を保つと予想される。