[論文レビュー] The Witten equation, mirror symmetry and quantum singularity theory

Huijun Fan, Tyler J. Jarvis+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 40被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、W-曲線のモジュライ空間における仮想サイクルを用いて、非退化で準同次的な超曲面特異点のコhomological field theoryを構築し、r-スピン理論を一般化する。ADE特異点の自己双対性およびそれらがADE可積分階層と対応することに関するウィッテンの予想を解決し、適切な原始形式と線形写像を用いてAモデルとBモデルのポテンシャル関数を一致させることで鏡映性を確立する。

ABSTRACT

For any non-degenerate, quasi-homogeneous hypersurface singularity, we describe a family of moduli spaces, a virtual cycle, and a corresponding cohomological field theory associated to the singularity. This theory is analogous to Gromov-Witten theory and generalizes the theory of r-spin curves, which corresponds to the simple singularity A_{r-1}. We also resolve two outstanding conjectures of Witten. The first conjecture is that ADE-singularities are self-dual; and the second conjecture is that the total potential functions of ADE-singularities satisfy corresponding ADE-integrable hierarchies. Other cases of integrable hierarchies are also discussed.

研究の動機と目的

• モジュライ空間のW-曲線と仮想サイクルを用いて、準同次的特異点のコhomological field theoryを構築すること。
• ADE特異点が自己双対であるというウィッテンの2つの予想を解決すること：その全ポテンシャル関数が対応するADE可積分階層を満たすこと。
• 原始形式と線形写像を用いて、Aモデル（Gromov-Witten型）とBモデル（Landau-Ginzburg型）の不変量の間の鏡映性を確立すること。
• 非自明なブロードセクタの寄与を考慮することで、DnおよびE6、E7、E8を含む任意の特異点へのr-スピン理論の一般化を達成すること。
• AモデルとBモデルのポテンシャル関数が、適切な原始形式とスケーリングパラメータ（λ, c）の選択により一致することを証明すること。

提案手法

• W-曲線を、W構造を満たすオーロララインバンドルを備えたリーマン面として定義し、r-スピン曲線を一般化する。
• 適切な群Gを備えた安定W-軌道曲線のモジュライ空間を構成し、コhomological field theoryの公理を満たす仮想サイクルhW(Γ)ivirを定義する。
• レフシェッツのチムブルとオーロラホモロジーを用いて特異点の状態空間を定義し、特異点の量子コホモロジーを捉える。
• 仮想サイクルを用いて、相関関数とポテンシャル関数を持つ量子コホモロジー的field theoryを定義する。
• 鏡映性を適用する際、Bモデル側（例：E6では9 dx1∧dx2）に原始形式を選び、線形写像Ti → (−1)^{1−deg(si)} siにより一致を図る。
• スケーリングパラメータλとcを調整することで、4点関数における符号の不一致を解消し、AモデルとBモデルのポテンシャル関数の一致を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された量子特異点理論において、ADE特異点は自己双対であるか？
• RQ2 ADE特異点の全ポテンシャル関数は、対応するADE可積分階層を満たすか？
• RQ3 一般の準同次的特異点に対するウィッテン方程式は、非自明なブロードセクタの寄与を持つコhomological field theoryを定義するために用いることができるか？
• RQ4 r-スピン理論を超えた特異点（例：Dn、E6、E7、E8）において、AモデルとBモデルの不変量は鏡映性によってどのように一致するか？
• RQ5 AモデルとBモデルの状態空間の同型を保証するための正しい原始形式と線形写像の選択は何か？

主な発見

• Dn+1特異点に対して、Bモデル側の原始形式を(−1)^{−(n−1)/n}倍した標準形式とし、λ = −1、c = (−1)^{−(n−1)/n}と選ぶと、AモデルとBモデルのポテンシャル関数が正確に一致する。
• E6に対して、基本的な4点相関関数はFB_4 = −FA_4を満たし、λ = −1およびc = (−1)^{−5/6}と選ぶことでAモデルとBモデルが一致する。
• E7に対しては、ポテンシャル関数の一致にはλ = −1およびc = (−1)^{−8/9}が必要であり、4点関数における符号の不一致が解消される。
• E8に対しては、λ = −1およびc = (−1)^{−14/15}と選ぶことでFA_3 = FB_3およびFA_4 = −FB_4が成立し、スケーリング後に完全な一致が得られる。
• Dn+1(GDn+1)に対しては、原始形式を2n dxとし、λ = −n/(4n−5)、c = λ^{−(n−1)/n}と選ぶことで、AモデルとBモデルのポテンシャルが一致する。
• DTn+1に対しては、原始形式を2n dx1∧dx2とし、FA_3+4(T) = FB_3+4(T)が成り立つ。これにより、定理6.1.3の証明が完了する。