[論文レビュー] Thin shells of dust in a compact universe

Flavio Mercati|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、形状力学（Shape Dynamics）を用いて、$S^3$ 空間トポロジーを有するコンパクトで球対称な宇宙における重力崩壊の最初の解析的研究を提示する。2つの薄いダストシェル（軽い方と重い方）を用いて閉じた宇宙をモデル化することで、特定の条件下（小またはゼロの宇宙定数、大きな質量差）ではADM形式が不適切になるのに対し、形状力学の記述は依然として適切に定義されることを示している。これは、一般相対性理論とは完全に等価でない可能性を示唆している。

ABSTRACT

I present the first analytical study of gravitational collapse in a compact CMC foliation with $S^3$ spatial topology. The solutions I find, in this context, will be both solutions of Shape Dynamics and General Relativity. The aim is to describe a system undergoing gravitational collapse in Shape Dynamics, so a well-justified and useful simplification is to assume spherical symmetry. This kills all the local gravitational degrees of freedom, but some nontrivial degrees of freedom are recovered by introducing matter. The simplest form of matter is infinitely thin spherical shells of dust, of which I need at least two in order to have a nontrivial dynamics. With a single shell the system is dynamically trivial, but it nevertheless admits a solution which represents a `frozen' shell at equilibrium in a globally de Sitter universe. Such a solution is, to my knowledge, new. I am able to solve analytically also the case with two shells, which has a nontrivial dynamics. When the rest mass of one shell is much smaller than the other, the system is suitable to model a compact universe in which one subsystem (the `light' shell) undergoes gravitational collapse while the rest of the matter (the `heavy' shell) plays the role of spectator. It turns out that, if the cosmological constant is zero or positive but small, and the rest mass of the two shells are sufficiently different, when the `light' shells collapses the ADM equations become ill-defined and cease to admit a solution. The shape-dynamical description, however, seems still well defined and can be continued past this point, possibly signalling a departure of Shape Dynamics from exact equivalence with General Relativity.

研究の動機と目的

• 関係的でコンパクトな宇宙（空間トポロジー$S^3$）における重力崩壊を、時空構造に依存せずに調査すること。
• 一般相対性理論が失敗する場面で、形状力学が特異性を解消できるかどうかを検討すること、特に閉じた宇宙において。
• 1つの動的プローブと1つの固定された背景基準としてのダストシェルを用いて、重力崩壊をモデル化すること。
• 縮約変数$A_{\text{B}}$、$\rho_a$、および$\langle p\rangle$を用いて、その系の位相空間構造を解析し、制約面における禁じられた領域を同定すること。

提案手法

• 正の宇宙定数を有するコンパクトな$S^3$宇宙に対して、CMC（一定平均曲率）フォリエーションを採用する。
• Yorkハミルトニアンを用いて、特定のゲージ下で一般相対性理論と等価な、共形不変な力学を定義する。
• 物質を異なる静止質量を有する2つの無限に薄い球対称ダストシェルとしてモデル化する。
• 体積半径$\rho_a$、York時間$\langle p\rangle$、および運動量に関連する積分定数$A_{\text{B}}$を用いて、系をパラメータ化することで、縮約位相空間を構築する。
• 与えられた$A_{\text{B}}$および$\rho_a$値に対して、ADM制約を満たす解が存在しない領域（禁じられた領域）を3次元位相空間内で同定する。
• 各シェルのオンシェル位相空間面の幾何的構造を分析し、それらが禁じられた領域を囲むか、あるいは交差するかを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状力学を用いて、空間トポロジーが$S^3$であるコンパクトで閉じた宇宙における重力崩壊を一貫してモデル化できるか？
• RQ2 2つのダストシェルを有するコンパクトな宇宙において、重力崩壊の過程でADM形式が解を許容しなくなる条件は何か？
• RQ3 ADM制約が不適切になる場合でも、形状力学の記述は依然として適切に定義されるか。これは、一般相対性理論とは完全に等価でない可能性を示唆するか？
• RQ4 正の宇宙定数およびシェル間の質量差が、物理的解の存在にどのように影響するか？
• RQ5 質量の大きな「観測者」シェル（重い質量）は、関係的でコンパクトな枠組みにおいて、崩壊の意味のある定義を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 1つのダストシェルがコンパクトなデSitter型宇宙に存在する場合、物理的に整合性があるが動的になく、均衡状態で「凍結」したシェルを表す動的非自明でない解が得られ、著者らの知る限り、これは新しい発見である。
• 静止質量が著しく異なる2つのシェルでは、重力崩壊をモデル化するのに適した非自明な力学的挙動が観察される。
• 宇宙定数がゼロまたは小さい場合、かつ質量比が大きい場合、ADM制約は不適切になり、物理的整合性があるにもかかわらず解の存在が不可能になる。
• 2つのシェルのオンシェル位相空間面は、$A_{\text{B}}$-$\rho_a$-$\langle p\rangle$空間において禁じられた領域を囲むことがあり、その境界条件では滑らかな補間計量が存在しないことを示唆する。
• ADM形式の失敗にもかかわらず、形状力学の記述はその破綻点を越えて依然として適切に定義されており、このような領域でSDとGRとの完全な等価性が崩れている可能性を示唆している。
• 系の位相空間幾何学的構造から、各シェルのオンシェル面の形状がその静止質量に依存しており、同じ$A_{\text{B}}$値でも質量に応じて異なる体積半径をとることが明らかになった。