[論文レビュー] A Shape Dynamics Tutorial

Flavio Mercati|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2014

Relativity and Gravitational Theory参考文献 36被引用数 49

ひとこと要約

このチュートリアルは、空間的共形不変性と関係的理論に基づく重力の再定式化としての形状力学（SD）を提示する。一般相対性理論の同時性の相対性を、空間的共形変換におけるゲージ対称性に置き換える。最初の原理として、ベストマッチング、制約付きハミルトニアン力学、およびマホー＝ポアンカレの原理を用い、SDを導出し、時間の問題を解決し、特異点を避ける宇宙論的解を記述できることを示す。

ABSTRACT

Shape Dynamics (SD) is a new theory of gravity that is based on fewer and more fundamental first principles than General Relativity (GR). The most important feature of SD is the replacement of GR's relativity of simultaneity with a more tractable gauge symmetry, namely invariance under spatial conformal transformations. This Tutorial contains both a quick introduction for readers curious about SD and a detailed walk-through of the historical and conceptual motivations for the theory, its logical development from first principles and an in-depth description of its present status. The Tutorial is sufficiently self-contained for an undergrad student with some basic background in GR and Lagrangian/Hamiltonian mechanics. It is intended both as a reference text for students approaching the subject and as a review for researchers interested in the theory.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論とハミルトニアン力学の基礎的知識を持つ学生および研究者向けに、自己完結的で教育的な形状力学（SD）の入門を提供すること。
• ニュートン力学から始まり、関係的理論、マホーの原理、ポアンカレの相対性を経て、バーラウフ＝ベルトッティのベストマッチングに至るSDの歴史的・概念的発展をたどること。
• アーノイット＝デーザー＝ミラー（ADM）形式と制約付きハミルトニアン系を用いてSDを導出し、ゲージ対称性と空間的共形不変性の役割に重点を置くこと。
• SDが、時空共変性を空間的共形不変性に置き換えることで、時間の問題を解決し、背景時空を持たない関係的で動的な時間の概念を提供することを示すこと。
• ビャンキIX型および球対称時空の明示的解を提示し、タウブ遷移と共形継続を用いて特異点を回避する仕組みを示すこと。

提案手法

• 粒子や場の配置間の関係的力学を定義するために、バーラウフ＝ベルトッティのベストマッチング原理を用い、共形変換による空間的歪みを最小化する。
• ディラックの制約解析を適用して、関係的系のハミルトニアン形式を導出し、第一種制約とゲージ対称性を同定する。
• 空間的共形不変性を課し、制約を解くことで、ADM形式の重力から形状力学を導出し、共形不変性を基本的なゲージ対称性とする理論を得る。
• SDと正準重力の間を結ぶリンク理論（ヨルクの初期値問題の一般化）を導入し、特定の条件下で両理論が等価であることを示す。
• ヨルク時間形式と共形分解を用いて初期データを分析し、特に均一および球対称な場合に解を構成する。
• ホーキング＝デーウィット方程式と形状空間幾何学を用いて、量子的および古典的力学を記述し、形状ポテンシャルが宇宙論的進化を符号化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力は、同時性の相対性を、空間的共形変換におけるより基本的なゲージ対称性に置き換えることで、空間的共形変換に対して不変な理論として再定式化できるか？
• RQ2 関係的理論とマホー＝ポアンカレの原理は、空間や時間を絶対的構造として排除する力学をどのように動機づけるか？
• RQ3 ベストマッチング手順は、N体系や場の理論に対してどのように関係的力学を生成するか？また、制約付きハミルトニアン力学を通じてゲージ理論とどのように関係するか？
• RQ4 形状力学は、背景時空を持たない関係的かつ進化的な時間の概念を提供することで、量子重力における時間の問題を解決できるか？
• RQ5 形状力学の古典的および量子的解は何か？また、宇宙論的および球対称モデルにおいて特異点をどのように回避するか？

主な発見

• 形状力学は、空間的共形不変性を課えることで、ADM形式から導出され、空間的共形変換における基本的なゲージ対称性を持つ理論となる。
• 理論は、時空共変性を空間的共形不変性に置き換えることで、時間の問題を解決し、ヨルク時間変数から生じる共形幾何学的空間断片に基づく関係的時間の定義を提供する。
• ビャンキIX型モデルでは、タウブ遷移を通じて特異点を通過する非特異的進化を示し、形状ポテンシャルが初期特異点を越えて滑らかに継続可能である。
• 球対称系では、漸近的に平坦な極限でシュヴァルツシルト解を再現し、理論は正則で共形不変なワームホール的解を許容する。
• ビャンキIX力学における形状ポテンシャルは有界かつ周期的であることが示され、初期特異点付近では静的で周期的な振る舞いを示し、共形的枠組みにおいてBKL予想と整合的である。
• SDと正準重力の間のリンク理論は、空間的共形不変性の条件下で等価であることが示され、両理論の重力の定式化を結ぶ橋渡しを果たす。