[論文レビュー] Thom Prospectra for Loopgroup representations

Nitu Kitchloo, Jack Morava|ArXiv.org|Apr 29, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ループ群のアフィンティーツ・ビルドイングを用いて、多様体の自由ループ空間に対する ${\mathbb{T}}$-equivariant なソーススペクトルを構成し、ストリングトポロジーを介してウィッテンの生成関数を新たな形で実現する。主な貢献は、${\mathbb{T}}\tilde{\times}LG$-equivariant に可縮である滑らかなティーツ・ビルドイングを提供し、接バンドルの自然なフィルトレーションをもたらすことで、$LG$-equivariant な $K$-理論の双対スペクトルと正エネルギー表現との間に双対性を確立するものであり、フリード、ホプキンズ、テレマンの予想と整合する。

ABSTRACT

We construct an S^1-equivariant prospectrum that models the Atiyah dual of a free loop space of a manifold. By applying a suitably completed S^1-equivariant K-theory to the Atiyah dual, we show how to recover the Witten genus of the manifold. The main technical tool is a Tits building for the loop group. We use this building to construct a dualizing spectrum for the loop group and relate it to work of Freed, Hopkins and Teleman.

研究の動機と目的

• 多様体の自由ループ空間に対して、アティヤの双対の ${\mathbb{T}}$-equivariant な拡張を構築し、古典的なスパンナー＝ホワイトヘッド双対性を無限次元のストリングトポロジー的設定へ拡張すること。
• アフィンティーツ・ビルドイングを用いて、自由ループ空間の接バンドルが有限次元フィルトレーションをもつ、自然な $LG$-equivariant な「太さ」を与えるスペクトルの構成。
• ティーツ・ビルドイングから構成された双対スペクトルの $LG$-equivariant な $K$-理論と、$LG$ の正エネルギー表現との間に双対性を確立し、フリード＝ホプキンズ＝テレマンの予想と一致させること。
• ${\mathbb{T}}$-equivariant な $K$-理論における新しい強力な局在定理を用いて、ストリングトポロジー的視点からウィッテンの生成関数を再構成すること。

提案手法

• 代数的ループ群 $L_{\text{alg}}G$ のパラボリック部分群 $H_I$ によってインデックスづけられた $\{0,1,\ldots,n\}$ の適切な部分集合に対する、アフィンティーツ・ビルドイング ${\bf A}(L_{\text{alg}}G)$ のホモトピー余極限の構成を用いる。
• ${\mathbb{T}}\tilde{\times}L_{\text{alg}}G$-equivariant なホメオモルフィズムを、リー代数への随伴作用を用いて、${\bf A}(L_{\text{alg}}G)$ と $S^1 \times G$ 上の接続のアフィン空間との間に確立する。
• 滑らかなティーツ・ビルドイング ${\bf A}(LG)$ を、基底変換 $LG \times_{L_{\text{alg}}G} {\bf A}(L_{\text{alg}}G)$ として構成し、それが ${\mathbb{T}}\tilde{\times}LG$-equivariant に可縮であることを示す。
• ${\mathbb{T}}$-equivariant な $K$-理論における新しい強力な局在定理を適用し、構成されたトムスペクトルの $K$-理論を解析し、ウィッテンの生成関数を回復する。
• ティーツ・ビルドイングを幾何的基盤として用い、双対スペクトルの $K$-理論をヴェルリンド代数と関連付ける。フリード＝ホプキンズ＝テレマンの予想を用いる。
• 評価写像 $e: LM \to M$ を用いて、$LM$ の接バンドルに $LG$-equivariant 構造を定義し、ティーツ・ビルドイングのフィルトレーションを介して上へ持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アティヤの双対が、ストリングトポロジー的構造を捉えるために、${\mathbb{T}}$-作用を尊重する形で自由ループ空間へ一般化できるか。
• RQ2 ループ群のティーツ・ビルドイングが、自由ループ空間の接バンドルの自然なフィルトレーションを構成する上で果たす役割は何か。
• RQ3 新しい局在定理を用いてティーツ・ビルドイングから構成された ${\mathbb{T}}$-equivariant なトムスペクトルから、ウィッテンの生成関数を再構成できるか。
• RQ4 ティーツ・ビルドイングから構成された双対スペクトルの $LG$-equivariant な $K$-理論は、$LG$ の正エネルギー表現とどのように関係するか。
• RQ5 滑らかなティーツ・ビルドイング ${\bf A}(LG)$ は、$S^1$ 上の自明な $G$-バンドルの接続の空間として、どのように幾何的モデルとして機能するか。

主な発見

• 滑らかなティーツ・ビルドイング ${\bf A}(LG)$ が ${\mathbb{T}}\tilde{\times}LG$-equivariant に可縮であることが示され、自由ループ空間の自然な ${\mathbb{T}}$-equivariant な「太さ」を提供する。
• ${\bf A}(LG)$ は、$g(0) = 1$ を満たす $1$-周期的な $G$-値ループの空間とホメオモルフィックであり、自明な $G$-バンドル $S^1 \times G$ 上の接続の空間として解釈できる。
• この構成により、$LM$ の ${\mathbb{T}}$-equivariant なトムスペクトルが得られ、新しい局在定理を用いてその $K$-理論がウィッテンの生成関数としてキャラクターとして回復される。
• $LG$-equivariant な $K$-理論の双対スペクトルがティーツ・ビルドイングから構成されるが、その理論は予想としてヴェルリンド代数に同型であり、フリード＝ホプキンズ＝テレマンの予想と一致する。
• アフィンティーツ・ビルドイング ${\bf A}(L_{\text{alg}}G)$ は、商 $(L_{\text{alg}}G/T \times \Delta)/\sim$ として実現され、その固定部分群はパラボリック部分群 $H_I$ で与えられ、接続のアフィン空間とホメオモルフィックである。
• ${\mathbb{T}}\tilde{\times}LG$ の ${\bf A}(LG)$ 上への作用はアフィン的であり、随伴作用を拡張しており、コンパクト部分群の下で空間が可縮であることを保証する。