[論文レビュー] Three lectures on noncommutative field theories

F Schaposnik|ArXiv.org|Aug 18, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 48被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非可換ゲージ理論における非可換ソリトンとインスタントンの構成に焦点を当て、2次元および3次元の量子場理論を検討する、非可換場理論の包括的な導入を提示する。非可換Wess-Zumino-Wittenモデルとフェルミオン理論との間の関係を確立し、Seiberg-Witten写像が非可換Chern-Simons理論を作用レベルで可換理論と同等にすることが示されている。

ABSTRACT

Classical and quantum aspects of noncommutative field theories are discussed. In particular, noncommutative solitons and instantons are constructed and also d=2,3 noncommutative fermion and bosonic (Wess-Zumino-Witten and Chern-Simons)theories are analyzed.

研究の動機と目的

• Moyal星積形式を用いた非可換場理論への教育的導入を提供すること。
• アーベルおよび非アーベルゲージ理論における非可換バーテックスおよびインスタントンなどの明示的古典解の構成すること。
• d=2およびd=3次元における非可換フェルミオンおよびボソン場理論の構造と物理的意味を分析すること。
• Seiberg-Witten写像を介して、非可換Wess-Zumino-Wittenモデルと非可換Chern-Simons理論との関係を確立すること。
• 非可換Chern-Simons作用がSeiberg-Witten写像の下で可換理論と同等になること、ゲージ不変性および位相的構造が保存されることを示すこと。

提案手法

• 時空座標における定数の反対称テンソル $\theta^{\mu\nu}$ を用いて、場関数の代数を非可換化するためのMoyal星積を用いる。
• 非可換ゲージ場とその可換対応物との関係を確立するため、Seiberg-Witten写像を適用し、ゲージ不変作用の導出を可能にする。
• ゲージ変換 $\hat{A}_i = -\frac{i}{e}\hat{g}^{-1} * \partial_i \hat{g}$ の形を用いて、非可換アーベル・ヒッグス模型における平坦性条件 $\hat{F}_{ij} = 0$ を解くことにより、非可換バーテックスを構成する。
• 境界を持つ多様体上の $*$-積形式に拡張されたチャノニカルWZW作用を用いて、非可換Wess-Zumino-Witten (WZW) 作用を導出する。
• 2+1次元における $*$-積を用いて非可換Chern-Simons作用を導出し、その $\theta$-依存性を計算してSeiberg-Witten変形における不変性を示す。
• 非可換Chern-Simons作用の $\theta$-微分を用いて、$\partial S_{CS}/\partial\theta_{\mu\nu} = 0$ を証明し、可換理論と同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換場理論における非可換ソリトンおよびインスタントンは、どのように明示的に構成可能か？
• RQ2 非可換Wess-Zumino-Wittenモデルの構造は何か？ 2次元におけるフェルミオンモデルとどのように関係しているか？
• RQ3 Seiberg-Witten写像は非可換Chern-Simons理論とその可換対応物とをどのように関係付けるか？
• RQ4 非可換Chern-Simons作用は、Seiberg-Witten写像の下でゲージ不変性および位相的同等性を保つのか？
• RQ5 非可換性は、有限温度における平面量子場理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 非可換バーテックスは、形態 $\hat{A}_i = -\frac{i}{e}\hat{g}^{-1} * \partial_i \hat{g}$ のゲージ変換を用いて、平坦性条件 $\hat{F}_{ij} = 0$ の解として構成される。
• 非可換Wess-Zumino-Witten作用は $\hat{S}_{CWZW}[\hat{g}] = -\frac{1}{4\pi} \text{Tr} \int_{\partial\mathcal{M}} d^2x (\hat{g}^{-1} * \partial_t \hat{g}) * (\hat{g}^{-1} * \partial_\varphi \hat{g}) + \text{バルク項}$ として導出され、フェルミオンモデルと関連づけられる。
• 非可換Chern-Simons作用は $\hat{S}_{CS}(\hat{A}) = \frac{e^2}{4\pi} \int d^3x \, \epsilon^{\mu\nu\rho} \left( \hat{A}_\mu * \partial_\nu \hat{A}_\rho + \frac{2ie}{3} \hat{A}_\mu * \hat{A}_\nu * \hat{A}_\rho \right)$ で与えられる。
• 非可換Chern-Simons作用の $\theta$-微分は消える：$\frac{\partial \hat{S}_{CS}}{\partial \theta_{\mu\nu}} = 0$ であり、これは $S_{CS}[\hat{A}, \theta] = S_{CS}[A, 0]$ を意味する。
• Seiberg-Witten写像は、非可換Chern-Simons作用における非局所的三次項を消去し、標準的可換Chern-Simons作用と同等に戻す。
• 非可換Chern-Simons理論がSeiberg-Witten写像の下でゲージ不変かつ位相的に同等であることが示され、低エネルギー限界における整合性が確認された。