[論文レビュー] Tight Approximation of Image Matching

Simon Korman, Daniel Reichman+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Advanced Image and Video Retrieval Techniques参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、アフィン変換および強度変換の下で、2つの$n\times n$グレースケール画像間の画像マッチングを近似するサブリニアなアルゴリズムを提示する。一般の画像に対しては$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$のクエリ複雑度を達成し、滑らかな画像（全勾配変動が$O(n)$）に対しては著しく改善され、$\tilde{O}(1/\epsilon^2\delta^8)$のクエリ複雑度を達成する。この場合、加法的誤差は$O(\delta + \epsilon)$である。

ABSTRACT

In this work we consider the {\em image matching} problem for two grayscale $n imes n$ images, $M_1$ and $M_2$ (where pixel values range from 0 to 1). Our goal is to find an affine transformation $T$ that maps pixels from $M_1$ to pixels in $M_2$ so that the differences over pixels $p$ between $M_1(p)$ and $M_2(T(p))$ is minimized. Our focus here is on sublinear algorithms that give an approximate result for this problem, that is, we wish to perform this task while querying as few pixels from both images as possible, and give a transformation that comes close to minimizing the difference. We give an algorithm for the image matching problem that returns a transformation $T$ which minimizes the sum of differences (normalized by $n^2$) up to an additive error of $ε$ and performs $ ilde{O}(n/ε^2)$ queries. We give a corresponding lower bound of $Ω(n)$ queries showing that this is the best possible result in the general case (with respect to $n$ and up to low order terms). In addition, we give a significantly better algorithm for a natural family of images, namely, smooth images. We consider an image smooth when the total difference between neighboring pixels is O(n). For such images we provide an approximation of the distance between the images to within an additive error of $ε$ using a number of queries depending polynomially on $1/ε$ and not on $n$. To do this we first consider the image matching problem for 2 and 3-dimensional {\em binary} images, and then reduce the grayscale image matching problem to the 3-dimensional binary case.

研究の動機と目的

• 最小限のピクセルクエリで、2つの$n\times n$グレースケール画像間の画像マッチングを近似するサブリニアなアルゴリズムの設計。
• アフィン変換および強度変換の下で、変換された画像$M_1$とターゲット画像$M_2$の間の距離を最小化すること。
• 正規化差分和における加法的誤差を$\epsilon$に保ちながら、サブリニアなクエリ複雑度を達成すること。
• 隣接ピクセル差の全変動が$O(n)$である滑らかな画像に対して、よりタイトな近似を提供すること。

提案手法

• ピクセル強度$g$を3次元目における$\lfloor gn \rfloor$個の1の列にエンコードすることで、2次元グレースケール画像マッチング問題を3次元バイナリ画像マッチング問題に還元する。
• 2次元アフィン成分を保持し、強度（3番目）次元をスケーリング・トランスレートする制限付き3次元アフィン変換の$\delta n$-カバーを用いる。
• ランダムサンプリングと推定技術を適用し、カバー内での最良変換の下での画像間距離を近似する。
• 全勾配変動が$O(n)$である滑らかな画像の構造を活用することで、$n$に依存しないクエリ複雑度（$1/\epsilon$および$1/\delta$にのみ依存）を達成する。
• 元のグレースケール画像間の距離が、対応する変換の下で3次元バイナリ表現間の距離に等しいことを証明する。
• 集中限界と確率的解析を用いて、$O(\delta + \epsilon)$の加法的誤差内で高確率で近似を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグレースケール画像に対して、アフィン変換および強度変換の下で、サブリニアなクエリ複雑度を用いて画像マッチングを近似可能か？
• RQ2 一般の画像において、近似誤差$\epsilon$とクエリ複雑度の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 全勾配変動が有界な滑らかな画像において、著しく良いクエリ複雑度を達成可能か？
• RQ4 2次元グレースケール画像から3次元バイナリ画像への還元は、変換下での画像マッチング距離をどのように保持するか？
• RQ5 一般ケースにおいて、画像マッチングを近似するためのクエリ複雑度の理論的下界は何か？

主な発見

• 一般の$n\times n$グレースケール画像に対して、$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$のクエリで$O(\epsilon)$の加法的誤差を達成し、対数要因を除いて最適である。
• $\Omega(n)$のクエリ下界が証明され、一般の画像に対して$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$がサブリニア複雑度として最良であることが示された。
• 全勾配変動が$O(n)$である滑らかな画像に対して、クエリ複雑度は$\tilde{O}(1/\epsilon^2\delta^8)$に低下し、$n$に依存せず、加法的誤差は$O(\delta + \epsilon)$である。
• 2次元グレースケール画像から3次元バイナリ画像への還元は、対応する変換下で距離を保持するため、既存のバイナリ画像アルゴリズムの利用が可能になる。
• $\delta n$-カバーを用いることで、高確率で最適変換を効率的に近似する。
• ランダムサンプリングと画像の滑らかさに関する構造的仮定を組み合わせることで、滑らかな入力に対して一般ケースの境界を著しく上回る性能を達成する。