[論文レビュー] Tightness, weak compactness of nonlinear expectations and application to CLT

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、非線形期待の族に対するタイトネスの概念を導入し、部分線形期待の空間における弱コンパクト性を確立する。これにより、モデル不確実性下での中心極限定理（CLT）の新しい確率論的証明が可能になる。この手法は確率微分積分学とPDEの可視化解に依拠しており、従来のPDEに基づく証明の代わりに構成的代替手法を提供し、退化した非線形PDEの数値スキームの収束解析を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we introduce a notion of tightness for a family of nonlinear expectations and show that the tightness can be applied to obtain weak compactness in a framework of nonlinear expectation space. This criterion is very useful for obtaining the weak convergence for a sequence of nonlinear expectations, which is a equivalent to the so-called convergence in distribution, or in law for a sequence of random variables in a nonlinear expectation space. We use the above result to give a new proof to the central limit theorem under a sublinear expectation space. The method can be also applied to prove the convergence of some numerical schemes for degenerate fully nonlinear PDEs.

研究の動機と目的

• 部分線形期待の空間における非線形期待の族に対するタイトネスの概念を構築すること。
• 古典的な弱収束を非線形フレームワークに一般化する弱コンパクト性の基準を確立すること。
• 完全なPDE推定に依存せずに、部分線形期待下での中心極限定理の新しい確率論的証明を提供すること。
• 退化した完全非線形PDEの解の存在を示す構成的手法を提供すること。
• 退化した完全非線形PDEの数値スキームの収束解析を可能にすること。

提案手法

• 確率論における古典的タイトネスの一般化として、非線形期待の族に対する新しいタイトネス条件を導入する。
• 部分線形期待の表現定理（線形期待の族における上界としての表現）を用いる。
• タイトネスを介して弱コンパクト性を確立し、非線形期待の収束が分布収束に等価であることを保証する。
• 自己相似性および非線形期待下での独立性を満たす増分を持つ、独立同分布の確率変数の列を構成する。
• 関数 $ u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \xi_t)] $ を定義し、可視化解の技法を用いてこれが完全非線形PDEを満たすことを示す。
• 可視化解の意味で $ \partial_t u - G(D^2 u) = 0 $ を満たすことを確認することで、$ \xi_1 $ が $ G $-正規分布に従うことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイトネス基準を非線形期待の空間に一般化することで、弱コンパクト性を保証できるか？
• RQ2 モデル不確実性下での中心極限定理の証明において、深いPDE推定に代わる確率論的手法を用いることができるか？
• RQ3 非線形期待下で独立かつ定常増分を持つ構成された確率過程は、$ G $-正規分布に従うか？
• RQ4 この枠組みを用いて、退化した完全非線形PDEの解の存在を示すことができるか？
• RQ5 このアプローチを、退化した非線形PDEの数値スキームの収束解析に拡張できるか？

主な発見

• 非線形期待の族のタイトネスは、部分線形期待の枠組みにおける弱コンパクト性を意味する。
• 完全非線形放物型PDEの推定に依存せずに、部分線形期待下での中心極限定理が確率論的に証明された。
• 極限確率変数 $ \xi_1 $ は $ G $-正規分布に従い、$ G(A) = \mathbb{E}[\langle A\xi_1, \xi_1 \rangle]/2 $ を満たす。
• 関数 $ u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \xi_t)] $ は、PDE $ \partial_t u - G(D^2 u) = 0 $ の一意な可視化解である。
• Perron法の代替として、退化した完全非線形PDEの解の存在を示す構成的手段を提供する。
• この枠組みは、より一般的な極限定理へと拡張可能であり、たとえば $ \sum_{i=1}^n (X_i/\sqrt{n} + Y_i/n) \to (\xi, \eta) $ において、$ u(t,x) $ が $ \partial_t u - G(Du, D^2 u) = 0 $ を満たす。