[論文レビュー] Tilting bundles via the Frobenius morphism

Alexander Samokhin|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正標数における特定の滑らかな代数的多様体上のフロベニウス準同型の下での構造層のプッシュフォワードの自己準同型層のコホモロジーを計算する。トーリックファノ多様体、射影平面のブ lowup（例えばデル・ペッツォ表面）および型A₂およびB₂の同次空間について、標数pが十分に大きいとき、高次コホモロジー群が消えることを示しており、これは、導来圏における生成子であるという条件下で、フロベニウスプッシュフォワードがティルティング bundle を与えることを示唆している。

ABSTRACT

We show how to construct tilting bundles for a class of smooth projective varieties using characteristic $p$ methods. Given such a variety $X$, reduce it modulo a prime number and consider the direct image of the structure sheaf under the Frobenius morphism. We prove that under suitable restrictions on the characteristic, these direct images are tilting bundles for some toric Fano varieties, Del Pezzo surfaces, and flag varieties $G/B$ of type $A_2$ and $B_2$.

研究の動機と目的

• 正標数における滑らかな多様体上で、フロベニウスプッシュフォワードの構造層の自己準同型層の高次コホモロジー群が何時消えるかを特定すること。
• 導来圏 $\mathrm{D}^b(X)$ において $\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ が生成子であり、かつ $\mathrm{H}^i(X, \mathrm{End}(\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X))$ が $i > 0$ で消える条件を確認することで、$\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ が $X$ 上でティルティング bundle となる条件を確立すること。
• デル・ペッツォ表面やトーリックファノ多様体などの非同次ケースにおいて、$\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ が有界導来圏 $\mathrm{D}^b(X)$ で生成子であることを検証すること。
• シンプレクティック多様体を超える枠組みを、フロベニウス準同型と導来局在定理を用いて正標数におけるティルティング同型の拡張すること。
• トーリック多様体や同次空間のようないくつかの多様体が、完全な強い例外的コレクションを備えると予想されているが、そのような多様体にティルティング bundle が存在することの証拠を提供すること。

提案手法

• ブローダウンおよびフロベニウスプルバックに関連するスペクトル系列および長い完全コホモロジー系列を用いて、$\mathrm{H}^i(X, \mathrm{End}(\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X))$ を計算する。
• $\mathrm{G}/\mathrm{P}$-同次空間に対して導来局在定理を適用し、$p > h$（コクセター数）のとき $\mathcal{F}_*\mathcal{O}_{\mathrm{G}/\mathrm{P}}$ が生成子であることを示す。
• デル・ペッツォ表面の構成におけるブローダウンの数に関する帰納法を用い、例外的除算のべきでねじれた層のコホモロジーを分析する。
• 関手 $\pi_k^*$ と $\pi_{k*}$ の合成に対するグロタンディークのスペクトル系列を用いて、高次直接像およびコホモロジーの消滅を計算する。
• 特に形式的近傍において、例外的除算に台を持つ層の上でのフロベニウス準同型およびその双対 $\mathcal{F}^{n!}$ の振る舞いを分析する。
• 等長 $\mathrm{R}^1\pi_{k*}(\mathcal{F}^{n!}(i_*\mathcal{O}_{l_{k+1}}(-1))) = 0$ を適用し、帰納的段階におけるコホモロジー群の消滅を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における滑らかな多様体 $X$ に対して、$\mathrm{H}^i(X, \mathrm{End}(\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X))$ が $i > 0$ で消える条件は何か？
• RQ2 導来圏 $\mathrm{D}^b(X)$ において $\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ が生成子であり、かつ高次コホモロジーが消えるとき、$\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ は $X$ 上でティルティング bundle として機能するか？
• RQ3 トーリックファノ、デル・ペッツォ表面、および $\mathrm{G}/\mathrm{P}$-同次空間といったどのクラスの多様体に対して、正標数において $\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ がティルティング bundle を与えるか？
• RQ4 $\mathrm{G}/\mathrm{P}$-空間に対する導来局在定理は、$p > h$ のとき $\mathcal{F}_*\mathcal{O}_{\mathrm{G}/\mathrm{P}}$ が生成子であることをどのように保証するか？
• RQ5 特にシンプレクティックでない設定において、コホモロジーの消滅を通じてティルティング bundle を構成する際、フロベニウス準同型が果たす役割は何か？

主な発見

• 正標数におけるトーリックファノ多様体では、高次コホモロジー群 $\mathrm{H}^i(X, \mathrm{End}(\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X))$ は $i > 0$ で消える。
• 射影平面 $\mathbb{P}^2$ のブローダウンによって得られるデル・ペッツォ表面では、$\mathrm{H}^i(X, \mathrm{End}(\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X))$ が $i > 0$ で消える。これは、$\mathcal{F}_*\mathcal{O}_X$ が生成子であればティルティング bundle であることを示唆する。
• 型 $\mathrm{A}_2$ および $\mathrm{B}_2$ の同次空間 $\mathrm{G}/\mathrm{P}$ において、$p > h$ のとき $\mathcal{F}_*\mathcal{O}_{\mathrm{G}/\mathrm{P}}$ は $\mathrm{D}^b(\mathrm{G}/\mathrm{P})$ で生成子であり、高次コホモロジーの消滅によりティルティング bundle であることが示される。
• ブローダウンの帰納的構成における $X_k$ において、$\mathrm{H}^i(X_k, \mathcal{E}_k \otimes \mathcal{J}_{x_{k+1}}^{p^n - 1})$ は $i > 0$ で消える。これは主なコホモロジーの消滅を支持する。
• 多様体 $X_k$ の例外的除算 $D_k = l_1 + \dots + l_k$ に対して、群 $\mathrm{Ext}^i(\mathcal{F}^{n}_*\mathcal{O}_{X_k}(D_k), \mathcal{F}^{n}_*\mathcal{O}_{X_k}(D_k))$ は $i > 0$ で消える。これは、ねじれた bundle に対するティルティング性を確認する。
• 関係する $\mathcal{M}_k$ および $\mathcal{J}_{x_{k+2}}^{p^n - 1}$ を含む短完全系列に関連するスペクトル系列は、$\mathrm{H}^1$ および $\mathrm{H}^2$ 項の消滅により収束する。これにより、帰納的段階における重要なコホモロジーの消滅が証明される。