[論文レビュー] Time Consistent Bid-Ask Dynamic Pricing Mechanisms for Contingent Claims and Its Numerical Simulations Under Uncertainty

Wei Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、PengのGフレームワークを用いて、ボラティリティとドリフトの不確実性下でのヨーロピアン・コンtingジェント・クレームの時間整合性を持つ動的買値・売値価格設定メカニズムを提案する。価格設定は、G-熱方程式から導かれる完全非線形PDEのバニシング解として定式化され、数値シミュレーションのための単調な陰的有限差分スキームが実装され、デジタル・オプションおよびバーブル・オプションの買値・売値価格軌道における収束性と安定性が示された。

ABSTRACT

We study time consistent dynamic pricing mechanisms of European contingent claims under uncertainty by using G framework introduced by Peng ([24]). We consider a financial market consisting of a riskless asset and a risky stock with price process modelled by a geometric generalized G-Brownian motion, which features the drift uncertainty and volatility uncertainty of the stock price process. Using the techniques on G-framework we show that the risk premium of the asset is uncertain and distributed with maximum distribution. A time consistent G-expectation is defined by the viscosity solution of the G-heat equation. Using the time consistent G-expectation we define the G dynamic pricing mechanism for the claim. We prove that G dynamic pricing mechanism is the bid-ask Markovian dynamic pricing mechanism. The full nonlinear PDE is derived to describe the bid (resp. ask) price process of the claim. Monotone implicit characteristic finite difference schemes for the nonlinear PDE are given, nonlinear iterative schemes are constructed, and the simulations of the bid (resp. ask) prices of contingent claims under uncertainty are implemented.

研究の動機と目的

• ドリフトとボラティリティを含むモデル不確実性下でのヨーロピアン・コンテント・クレームの時間整合性を持つ動的価格設定メカニズムの開発。
• 一般化された幾何的Gブラウン運動を用いて、資産価格のダイナミクスをドリフトとボラティリティの不確実性を捉えるようにモデル化。
• G-熱方程式のバニシング解から導かれる時間整合性G期待値に基づく買値・売値動的価格設定メカニズムの定義。
• コンテント・クレームの買値・売値価格プロセスを支配する完全非線形PDEの導出および数値的解法。
• 数値的シミュレーションのための単調な陰的有限差分スキームの実装および買値・売値価格面の収束性と安定性の検証。

提案手法

• ドリフトとボラティリティの不確実性を有界な区間内で表現するため、一般化された幾何的Gブラウン運動を用いてリスク資産価格をモデル化。
• G-熱方程式のバニシング解を介して時間整合性G期待値を定義し、価格設定における動的整合性を保証。
• G期待値フレームワークから導かれる非線形PDEを解くことにより、買値・売値動的価格設定メカニズムを構築。
• 非線形PDEに対する単調な陰的特徴的有限差分スキームを構築し、安定性と収束性を確保。
• 各時刻ステップにおける非線形連立系を解くために非線形反復スキームを開発し、M行列の性質を用いて収束性を証明。
• 指定されたグリッドパラメータと許容誤差閾値を用いて、デジタル・オプションおよびバーブル・オプションの買値・売値価格面をシミュレート。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトとボラティリティの不確実性下でのコンテント・クレームに対して、時間整合性を持つ動的買値・売値価格設定メカニズムをどのように構築できるか。
• RQ2 G期待値は、モデル不確実性下での価格設定における動的整合性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ3 買値・売値価格プロセスは、コンテント・クレームのペイオフ構造とどのように関係するか。
• RQ4 単調な有限差分スキームは、買値・売値価格を支配する非線形PDEのバニシング解に収束するか。
• RQ5 どのような数値的証拠が、シミュレートされた買値・売値価格面の安定性と正しさを支持するか。

主な発見

• Gフレームワーク下では、リスク資産のリスクプレミアムが最大分布となることが示された。これは不確実性下での最悪ケースを反映している。
• 買値・売値動的価格設定メカニズムは、マルコフ的かつ時間整合的であることが証明され、時間経過に伴う整合性が保証された。
• 買値・売値価格プロセスは、G-熱方程式から導かれる完全非線形PDEを満たし、予想通り売値が買値を上回る。
• 単調な有限差分スキームはバニシング解に収束し、反復計算の系列は非減少かつ有界であり、一意の解に収束する。
• デジタル・オプションおよびバーブル・オプションの数値的シミュレーションにより、売値価格面はペイオフ関数の単調性と凸性を保ち、買値価格面は凹性を保つことが確認された。
• K=100、T=0.5、r=0.10、σ∈[0.15,0.25]、Δt=0.0025のデジタル・オプションに対して、シミュレートされた価格面全体にわたり、明確で安定した買値・売値スプレッドが観察された。