[論文レビュー] Tinkertoys for the Z3-twisted D4 Theory

Oscar Chacaltana, Jacques Distler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、穴あきリーマン面への $D_4$ (2,0) 理論の $ℤ_3$-ねじれ compactification を通じて、新しい 4D $υ=2$ 超共形場理論（SCFT）を構成する。ねじれのない穴や、新しいタイプのねじれ穴および構成要素を導入する。主な結果は、$SU(4)$ 全体対称性と次元 6 の演算子によってパrameter化される 1 次元の Coulomb 分岐を持つ、新しい孤立型ランク 1 SCFT の発見である。

ABSTRACT

Among the simple Lie algebras, $D_4$ is distinguished as the unique one whose group of outer-automorphisms is bigger than $\mathbb{Z}_2$. We study the compactifications of the $D_4$ (2,0) Theory on a punctured Riemann surface, $C$, with outer-automorphism twists around cycles of $C$ lying in $\mathbb{Z}_3\subset ext{Aut}(D_4)= S_3$. The resulting 4D $\mathcal{N}=2$ SCFTs have a number of new and interesting properties. As byproduct, we discover a new rank-1 $\mathcal{N}=2$ SCFT with flavour symmetry group $SU(4)$.

研究の動機と目的

• 穴あきリーマン面上への $D_4$ (2,0) 理論の $ℤ_3$-ねじれ compactification から生じる 4D $υ=2$ SCFT の分類と構成を行う。
• アーベルでない外部自己同型のねじれ（特に $S_3$ の $ℤ_3$ 部分群）を対象とした、$υ=2$ クラス $ℓ$ プログラムの拡張を行う。
• 相互作用型およびゲージ理論に基づく構成を含む、ねじれ穴および構成要素の新しいタイプの同定と分析を行う。
• 得られた SCFT の全対称性と超共形指標の計算を行う。
• $SU(4)$ フレーバー対称性と、次元 6 の演算子によってパrameter化される 1 次元 Coulomb 分岐を持つ、新しい孤立型ランク 1 SCFT の発見と特徴付けを行う。

提案手法

• $υ=2$ クラス $ℓ$ フレームワークを用い、$D_4$ (2,0) 理論の穴あきリーマン面上への $ℤ_3$-ねじれ compactification に拡張する。
• 不変部分代数 $\mathfrak{g}^\vee \subset D_4$ のラングランズ双対におけるべき零軌道を用いて、ねじれ穴を分類する。
• 「てんきょー」（tinkertoys）— 3 穴あき球面やシリンダーなどの組み合わせ的構成要素で、$(1,\omega,\omega^2)$ および $(\omega,\omega,\omega)$ ねじれセクターに指定されたねじれ構造を持つ—を導入する。
• 各ねじれセクターにおいて、自由場および相互作用型の構成要素を、$SO(8)$ および $G_2$ の射影行列と埋め込みデータを用いて構成する。
• ねじれ compactification の解析と全対称性の強化を経て、超共形指標を計算する。
• $j$-関数とモジュラー不変量を用いて、被覆写像 $X_6 \to \overline{M}_{0,6}$ の構造を制限し、分岐および極の位数を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの新しいタイプのねじれ穴および構成要素が $ℤ_3$-ねじれ $D_4$ compactification に現れるか？
• RQ2 得られた 4D $υ=2$ SCFT の全対称性と超共形指標は、$ℤ_2$-ねじれの場合とどのように異なるか？
• RQ3 $ℤ_3$-ねじれ compactification を通じて新しい孤立型ランク 1 SCFT を構成可能か？その主な性質は何か？
• RQ4 得られた SCFT のモジュライ空間の構造、特に分岐および境界成分に関してはいかなる性質を示すか？
• RQ5 $S_3$ の非アーベル性は、アーベル的ねじれと比較して、てんきょー構成の整合性にどのように影響するか？

主な発見

• 新しい孤立型ランク 1 $υ=2$ SCFT が発見され、$SU(4)_{14}$ 全体対称性と、次元 6 の演算子によってパrameter化される 1 次元 Coulomb 分岐を持つ。
• この理論は $D_{12}$ および $D_{34}$ 沿いに 12 階の極を示し、分岐指数が 6 であることを示しており、3 つの $SU(2)$ 群が弱い結合に近づくことと整合する。
• 被覆写像 $X_6 \to \overline{M}_{0,6}$ は $D_{16}, D_{26}, D_{36}, D_{46}$ 沿いに 6 階の極を示しており、これらの除数で非分岐であることを示している。
• 分岐指数は $D_{123}, D_{124}, D_{134}, D_{234}, D_{126}, D_{346}$ で 3、$D_{56}$ で 2 であり、$j$-関数の式における極の位数から決定される。
• $j$-関数の積 $j(\tau_1)j(\tau_2)j(\tau_3)$ は、三重零点と特定の極の位数を持つ有理関数として表現され、モジュラー不変性と対称性によって制約される。
• $j$-関数の零点の位置に関する知識の欠如により、$j$-関数式における定数 $s$ は未決定のままであるが、極と零点の構造からその存在が示唆される。