[論文レビュー] Topics in Two-Loop Superstring Perturbation Theory

Eric D’Hoker|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ℤ₂×ℤ₂ カラビ＝ヤウ軌道へのホテイティカルスリングのコンパクト化を焦点として、2ループ超弦摂動理論の包括的概説を提示する。モジュラー形式とスピン構造の和を用いて2ループ真空エネルギーを導出し、$E_8\times E_8$ ホテイティカルスリングではキャンセルによって真空エネルギーが消えるのに対し、$
\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ では非ゼロの真空エネルギーを示す。これは $U(1)$ ゲージ因子の存在と摂動的 supersymmetry の破れと整合的である。

ABSTRACT

In this contribution to the Proceedings of the Conference on Analysis, Complex Geometry, and Mathematical Physics, an expository overview of superstring perturbation theory to two loop order is presented to an audience of mathematicians and physicists. Recent results on perturbative supersymmetry breaking effects in Heterotic string theory compactified on Z_2 imes Z_2 Calabi-Yau orbifolds, and the calculation of the two-loop vacuum energy in these theories are discussed in detail, and the appearance of a new modular identity with respect to Sp(4,Z)/Z_4 is reviewed.

研究の動機と目的

• 数学者および物理学者向けに、2ループ超弦摂動理論の統一的で解説的な概説を提供すること。
• ℤ₂×ℤ₂ カラビ＝ヤウ軌道にコンパクト化されたホテイティカルスリング理論における摂動的 supersymmetry の破れを分析すること。
• モジュラー形式と超モジュライ空間幾何学を用いて、これらのモデルにおける2ループ真空エネルギーを計算すること。
• 超モジュライ空間の境界寄与に寄与するデリーニ・マウムフォードコンパクト化の除数の役割を確立すること。
• genus 2 アミプロードの文脈において、$
  \mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}_4$ に関する新しいモジュラー恒等式を導出し、それを適用すること。

提案手法

• 形式的枠組みは、超リーマン面とその超モジュライ空間に基づき、genus 2 が最初の非自明なケースである。
• 振幅は、シーゲルのゼータ級数とヤコビのゼータ関数を用いて構成され、モジュラー不変性を保証する。
• 真空エネルギーは、genus 2 モジュライ空間 $\mathfrak{M}_2$ の境界に沿って積分することで計算され、特に分離的崩壊に注目する。
• スピン構造の和は、特に $C_\delta[\mathfrak{e}] = C_{\delta_*}[\mathfrak{e}]\langle\delta_*|\delta\rangle$ というモジュラー不変性関係を用いて評価される。
• GSO射影とねじれセクターの寄与は、フェルミオン的およびボソン的寄与を統合した因子 $\mathcal{S}$ を通じて体系的に扱われる。
• 最終的な真空エネルギーは、分離ノードの極限における $\tau_I$ での積分により得られ、ディーデキンドのエータ関数を用いた明示的表現が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホテイティカルスリング理論が $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ カラビ＝ヤウ軌道にコンパクト化された場合、2ループ真空エネルギーはどのように振る舞うか？
• RQ2 genus 2 アミプロードの文脈において、$
  \mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}_4$ に関する新しいモジュラー恒等式は、2ループ超弦振幅にどのように寄与するか？
• RQ3 $E_8\times E_8$ ホテイティカルスリングは2ループで真空エネルギーがキャンセルするが、$
  \mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ はなぜそうならないのか？
• RQ4 超モジュライ空間 $\mathfrak{M}_2$ の境界寄与は、真空エネルギーの摂動的整合性にどのように影響するか？
• RQ5 これらのモデルにおける真空エネルギーを決定づけるスピン構造の和の数学的構造は何か？

主な発見

• $E_8\times E_8$ ホテイティカルスリングの2ループ真空エネルギーは、右回りスピン構造の和におけるキャンセルにより消える。これは $U(1)$ ゲージ因子の不在と整合的である。
• $\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ ホテイティカルスリングでは、真空エネルギーは非ゼロであり、$\mathcal{S} = 9216\times\bar{\eta}(\tau_1)^{12}\times\bar{\eta}(\tau_2)^{12}$ で与えられる。これは摂動的 supersymmetry の破れを示唆している。
• $E_8\times E_8$ では、genus 1 のリーマン・ゼータ特性恒等式によりスピン構造 $\delta_R$ の和が消えるため、完全なキャンセルが生じる。
• $\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ における非ゼロの真空エネルギーは、可換な $U(1)$ ゲージ群因子の存在と整合的である。
• 真空エネルギーへの境界寄与は、ゲージ選択 $q_I$ に依存しない。これは、形式的枠組みにおけるスライス独立性を確認する。
• 計算は、$
  \mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}_4$ を含む新しいモジュラー恒等式に依存しており、これは2ループ振幅の整合性の根幹をなしている。