[論文レビュー] Topological freeness for $*$-commuting covering maps

Nicolai Stammeier|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなハウスドルフ空間上の可算個の ∗-可換な被覆写像の族に関連する C*-代数 𝒪[X,P,θ] において、位相的自由性、理想交叉性、ℓ²(X) 上の標準的表現の忠実性、および C(X) がマキシマル・アーベル自己随伴部分代数（masa）であるという性質の4つが同値であることを確立する。さらに、𝒪[X,P,θ] の単純性が力学系の最小性と同値であることを示し、関連する積系から得られる Cuntz-Nica-Pimsner 代数と同型であることを示している。

ABSTRACT

A countable family of $*$-commuting surjective, non-injective local homeomorphisms of a compact Hausdorff space $X$ gives rise to an action $θ$ of a countably generated, free abelian monoid $P$. For such a triple $(X,P,θ)$, which we call an irreversible $*$-commutative dynamical system, we construct a universal $C^*$-algebra $\mathcal{O}[X,P,θ]$. Within this setting we show that the following four conditions are equivalent: $(X,P,θ)$ is topologically free, $C(X) \subset \mathcal{O}[X,P,θ]$ has the ideal intersection property, the natural representation of $\mathcal{O}[X,P,θ]$ on $\ell^2(X)$ is faithful, and $C(X)$ is a masa in $\mathcal{O}[X,P,θ]$. As an application, we characterise simplicity of $\mathcal{O}[X,P,θ]$ by minimality of $(X,P,θ)$. We also show that $\mathcal{O}[X,P,θ]$ is isomorphic to the Cuntz-Nica-Pimsner algebra of a product system of Hilbert bimodules naturally associated to $(X,P,θ)$. Moreover, we find a close connection between $*$-commutativity and independence of group endomorphisms, a notion introduced by Cuntz and Vershik. This leads to the observation that, for commutative irreversible algebraic dynamical systems of finite type $(G,P,θ)$, the dual model $(\hat{G},P,\hatθ)$ is an irreversible $*$-commutative dynamical system and $\mathcal{O}[\hat{G},P,\hatθ]$ is canonically isomorphic to $\mathcal{O}[G,P,θ]$. This allows us to conclude that minimality of $(G,P,θ)$ is not only sufficient, but also necessary for simplicity of $\mathcal{O}[G,P,θ]$ if $(G,P,θ)$ is commutative and of finite type.

研究の動機と目的

• コンパクトなハウスドルフ空間上における可算個の ∗-可換で、非単射かつ全射な局所ホメオモルフィズムの族から生じる非可逆的 ∗-可換力学系を定義し、それらを研究すること。
• Exel の自己準同型による交叉積を、可逆でない多変数設定に一般化する、このような系と関連する普遍的 C*-代数 𝒪[X,P,θ] を構成すること。
• 4つの主要な構造的性質の同値性を確立すること：位相的自由性、理想交叉性、ℓ²(X) 上の標準的表現の忠実性、および C(X) が masa として最大であること。
• 基礎となる力学系の最小性によって、𝒪[X,P,θ] の単純性を特徴づけること。
• 𝒪[X,P,θ] が、系に自然に関連するヒルベルト双加群の積系から得られる Cuntz-Nica-Pimsner 代数と自然に同型であることを示すこと。

提案手法

• P を可算生成の自由アーベルモノイドとし、各 θ_p: X → X が ∗-可換性を満たす全射で非単射な局所ホメオモルフィズムであるような三つ組 (X,P,θ) を、非可逆的 ∗-可換力学系として定義する：θ_p ∘ θ_q = θ_q ∘ θ_p かつすべての x ∈ X に対して θ_p^{-1}(θ_q(x)) = θ_q^{-1}(θ_p(x)) が成り立つ。
• 生成元と関係式を用いて、普遍的 C*-代数 𝒪[X,P,θ] を構成する：各 α_p(f) = f∘θ_p を実現する等長作用素 (s_p) と、L_p(f) = s_p^* f s_p を満たす共等長作用素 (s_p^*) を用い、∗-可換性に適合する関係式を課す。
• φ: 𝒪[X,P,θ] → B(ℓ²(X)) を s_p δ_x = δ_{θ_p(x)} および s_p^* δ_y = ∑_{z∈θ_p^{-1}(y)} δ_z で定義される標準的表現を用いて忠実性を分析する。
• 理想交叉性を適用する：𝒪[X,P,θ] の任意の非ゼロイデアル I に対して I ∩ C(X) ≠ 0 が成り立つ。これは位相的自由性と同値であることが示される。
• 位相的自由性（各非恒等元 p ∈ P の固定点集合の内部が空）が、他の3つの性質と同値であることを、連鎖的な含意の系列により証明する。
• 被覆写像から自然に構成されるヒルベルト双加群の積系の Cuntz-Nica-Pimsner 代数と、𝒪[X,P,θ] の間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒪[X,P,θ] の ℓ²(X) 上の標準的表現 φ が忠実であるのはどのような条件下か？
• RQ2 C*-代数 𝒪[X,P,θ] が理想交叉性を満たすとは、すなわち任意の非ゼロイデアルが C(X) と非自明に交わることとは、どのような条件か？
• RQ3 C(X) が 𝒪[X,P,θ] 内で最大アーベル自己随伴部分代数（masa）であるのはいつか？
• RQ4 動力学系 (X,P,θ) が 𝒪[X,P,θ] の単純性を保証するための正確な条件は何か？
• RQ5 ∗-可換性は、Cuntz と Vershik が定義した群自己準同型の独立性とどのように関係するか？

主な発見

• (X,P,θ) の位相的自由性は、理想交叉性と同値である：𝒪[X,P,θ] の任意の非ゼロイデアルは C(X) と非自明に交わる。
• 𝒪[X,P,θ] の ℓ²(X) 上の標準的表現 φ は、(X,P,θ) が位相的に自由である場合にかつそのときに限り忠実である。
• C(X) が 𝒪[X,P,θ] 内で masa であることは、(X,P,θ) が位相的に自由である場合にかつそのときに限り成り立つ。
• C*-代数 𝒪[X,P,θ] が単純であることは、力学系 (X,P,θ) が最小的である場合にかつそのときに限り成り立つ。
• 𝒪[X,P,θ] は、(X,P,θ) に関連するヒルベルト双加群の積系から得られる Cuntz-Nica-Pimsner 代数と自然に同型である。
• 有限型の可換非可逆代数的力学系 (G,P,θ) に対して、(G,P,θ) の最小性は、𝒪[G,P,θ] の単純性の必要十分条件であり、双対性 (Ĝ,P,θ̂) を通じて得られる。