[論文レビュー] Topological operators, noninvertible symmetries and decomposition

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 68被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、2次元量子場理論における非可逆的一形式対称性と、トポロジカル演算子およびねじれ場を介した理論の異なる「宇宙」への分解を結びつけるフレームワークを確立する。非可逆的対称性の一般的特徴づけを、自明に作用する部分群の表現を用いて行い、高次元の表現は非可逆的対称性および異なる宇宙を示唆するが、1次元の表現は可逆的対称性および同一コピーを示す。主な貢献は、投影演算子の普遍的公式と、非可逆的高次形式対称性の表現論的分類である。

ABSTRACT

In this paper we discuss the relationship between noninvertible topological operators, one-form symmetries, and decomposition of two-dimensional quantum field theories, focusing on two-dimensional orbifolds with and without discrete torsion. As one component of our analysis, we study the ring of dimension-zero operators in two-dimensional theories exhibiting decomposition. From a commutative algebra perspective, the rings are naturally associated to a finite number of points, one point for each universe in the decomposition. Each universe is canonically associated to a representation, which defines a projector, an idempotent in the ring of dimension-zero operators. We discuss how bulk Wilson lines act as defects bridging universes, and how Wilson lines on boundaries of two-dimensional theories decompose, and compute actions of projectors. We discuss one-form symmetries of the rings, and related properties. We also give general formulas for projection operators, which previously were computed on a case-by-case basis. Finally, we propose a characterization of noninvertible higher-form symmetries in this context in terms of representations. In that characterization, non-isomorphic universes appearing in decomposition are associated with noninvertible one-form symmetries.

研究の動機と目的

• 分解された複数の宇宙をもつ2次元量子場理論における非可逆的トポロジカル演算子の役割を明確化すること。
• 次元ゼロの演算子の環だけから、可逆的対称性と非可逆的対称性を区別する際の曖昧さを解消すること。
• 2次元オルビフォールドにおける非可逆的高次形式対称性の一般的で表現論的特徴づけを提供すること。
• これまで個別に計算されてきた投影演算子の普遍的公式を導出すること。
• バルクおよび境界のウィルソン線を、分解構造およびそれらの射影子への作用と結びつけること。

提案手法

• 分解を伴う2次元理論における次元ゼロの演算子の環を分析し、各宇宙に対応する射影子を、その宇宙に付随する冪等元として同定する。
• 可換代数を用いて、環が、各宇宙に対応する環の積に分解されることを示す。これは、有限スキームの点に対応する。
• 自明に作用する部分群からの誘導表現を適用し、宇宙を分類し、可逆的対称性と非可逆的対称性を区別する。
• 射影子がバルクおよび境界のウィルソン線に及ぼす作用を計算し、それらが異なる宇宙を接続する欠損として機能することを示す。
• 群コhomologyおよび誘導表現を用いて、一般の投影演算子の公式を導出し、オルビフォールドの例に普遍的に適用可能である。
• 自明に作用する部分群の非同型で1次元でない表現によって、非可逆的高次形式対称性を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解を伴う2次元QFTにおいて、非可逆的一形式対称性を可逆的対称性から体系的に区別する方法は何か？
• RQ2 次元ゼロの演算子の環は、宇宙への分解をどのように符号化しているか？
• RQ3 バルクおよび境界のウィルソン線は、異なる宇宙に付随する射影子の作用を受けてどのように変化するか？
• RQ4 自明に作用する部分群をもつ理論における、投影演算子の一般的公式は何か？
• RQ5 自明に作用する部分群の表現は、宇宙をどのように分類し、一形式対称性の性質をどのように決定するか？

主な発見

• 分解された2次元QFTにおける次元ゼロの演算子の環は、各宇宙ごとの環の積に同型であり、各宇宙はスペクトルの点に対応する。
• 各宇宙は、自明に作用する部分群の表現に自然に関連づけられ、関連する射影子は次元ゼロの演算子の環内の冪等元である。
• バルクのウィルソン線は、異なる宇宙を接続する欠損として機能し、ゲージ群の表現論によってその状態および演算子への作用が決定される。
• 境界のウィルソン線は、自明に作用する部分群の誘導表現に変換される成分に分解され、誘導表現行列を用いて明示的な作用が計算される。
• ある宇宙に関連する表現が非自明で次元が1より大きい場合、非可逆的一形式対称性が生じる。一方、1次元の表現は可逆的対称性を示唆する。
• 誘導表現を用いて、射影演算子の普遍的公式が導出され、これまでの個別計算を一般化し、オルビフォールド理論における宇宙の特定に体系的な手法を提供する。