[論文レビュー] Topological SL(2) Gauge Theory on Conifold

El Hassan Saidi|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、SL(2)等スピンル形式を用いて、$T^*/\mathbb{S}^3$ 上のトポロジカルなSL(2)ゲージ理論を構築し、4つの複素次元におけるq-変形非可換正則幾何とコンパクト・コンパクト幾何の間の関係を確立する。主な結果は、チャーン・サイモンズ理論を拡張する正則的トポロジカル作用で、射影的対称性およびゲージ固定手続きにより、低次元部分多様体および超対称QFT4実現への還元を許容する。

ABSTRACT

Using a two component $SL(2) $ isospinor formalism, we study the link between conifold $T^{\ast}\mathbb{S}^{3}$ and q-deformed non commutative holomorphic geometry in complex four dimensions. Then, thinking about conifold as a projective complex three dimension hypersurface embedded in non compact $WP^{5}(1,-1,1,-1,1,-1) $ space and using conifold local isometries, we study topological $SL(2) $ gauge theory on $T^{\ast}\mathbb{S}^{3}$ and its reductions to lower dimension sub-manifolds $T^{\ast}\mathbb{S}^{2}$, $T^{\ast}\mathbb{S}^{1}$ and their real slices. Projective symmetry is also used to build a supersymmetric QFT$%_{4}$ realization of these backgrounds. Extensions for higher dimensions with conifold like properties are explored. \bigskip extbf{Key words}: Conifold, q-deformation, non commutative complex geometry, topological gauge theory. Nambu like background.

研究の動機と目的

• SL(2)等スピンル形式を用いて、コンパクト・コンパクト $T^*/\mathbb{S}^3$ と $\mathbb{C}^4$ 上のq-変形非可換正則幾何との明確な関係を確立すること。
• 局所等長対称性と $\mathbb{C}^*$ 対称性を活用して、コンパクト・コンパクト上にトポロジカルなSL(2)ゲージ理論を定式化し、チャーン・サイモンズ理論を拡張すること。
• 理論を $T^*/\mathbb{S}^2$、$T^*/\mathbb{S}^1$ およびその実スライスに還元し、正則的制約およびゲージ対称性を分析すること。
• グローバルな射影的対称性とクイバーゲージ理論技法を用いて、コンパクト・コンパクト背景の超対称QFT4実現を構築すること。
• SL(3,$\mathbb{C}$) および $WP^5$ 射影空間を用いた、拡張されたゲージ対称性を伴う、コンパクト・コンパクトに類似した高次元幾何の一般化を検討すること。

提案手法

• コンパクト・コンパクトを $x_1y_2 - x_2y_1 = \mu$ で定義される超曲面として表現する2成分のSL(2)等スピンル形式を用い、これをq-変形非可換関係として解釈する。
• 非コンパクトな $WP^5(1,-1,1,-1,1,-1)$ 内の射影的複素3次元多様体としてコンパクト・コンパクトを表現し、$\mathbb{C}^*$ ゲージ対称性を符号化するための射影的パラメータ $\sigma$ を導入する。
• $\mathbb{C}^*$ 等長対称性のゲージ化により、正則的トポロジカル作用を導出し、トポロジカル制約およびゲージ不変作用関数を得る。
• 微分同相および等長対称性の制約を適用して、理論を $T^*/\mathbb{S}^2$、$T^*/\mathbb{S}^1$ およびその実スライスに還元し、正則的構造を保存する。
• 超場関係を拡張して、$U(1)\times U(1)\times SU(3)$ ゲージ対称性の下で変換する物質場を伴う、超対称クイバーQFT4モデルを構築する。
• 群のファイブレーション $SL(3) = \mathbb{C}^* \times (SL(3)/\mathbb{C}^*)$ および $SL(3) = \mathbb{C}^{*2} \times (SL(3)/\mathbb{C}^{*2})$ を用いて、射影座標を定義し、高次元への一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・コンパクト $T^*/\mathbb{S}^3$ は、q-変形非可換幾何とSL(2)等スピンル形式を用いて体系的にどのように記述可能か？
• RQ2 コンパクト・コンパクト上でのトポロジカルなSL(2)ゲージ理論の構造は何か？ また、チャーン・サイモンズ理論をどのように一般化するか？
• RQ3 正則的トポロジカル制約は、$T^*/\mathbb{S}^2$ や $T^*/\mathbb{S}^1$ などの低次元部分多様体に一貫してどのように還元可能か？
• RQ4 射影的対称性とクイバーゲージ理論技法を用いて、コンパクト・コンパクト背景の超対称QFT4実現を構築できるか？
• RQ5 コンパクト・コンパクト幾何に類似した高次元幾何の類似物は何か？ また、SL(3,$\mathbb{C}$) および射影ファイブレーションを用いてどのように記述可能か？

主な発見

• コンパクト・コンパクトは、$Z_{ki}Z_{lj} - \mathcal{R}_{kl}^{mn}Z_{mj}Z_{ni} = \varepsilon_{kl}\vartheta_{ij}$ で与えられる関係を介して、q-変形非可換 $\mathbb{C}^4$ 幾何と等価であることが示され、$\mathcal{R}_{kl}^{mn} = \varepsilon_k^m\varepsilon_l^n$ により、非可換正則的構造が確立される。
• チャーン・サイモンズ理論を拡張する正則的トポロジカル作用が導出され、$S^3$ 上で不変な局所 $SL(2)$ 等長対称性および $\mathbb{C}^*$ 対称性を有する。
• $T^*/\mathbb{S}^2$ および $T^*/\mathbb{S}^1$ への還元は、ゲージ制約を制限し、正則性を保存することで達成され、これらの部分多様体上での作用の明示的形が得られる。
• $U(1)\times U(1)\times SU(3)$ ゲージ対称性を有する超対称QFT4モデルが構築され、超場は $X_{+i}Y_{+j}Z_{-2k}\varepsilon^{ijk} + \Sigma_+\Sigma_- = \mu$ および $\Sigma_+\Sigma_- = 1$ を満たし、SL(2)の場合を一般化する。
• SL(3,$\mathbb{C}$) ファイブレーションおよび射影座標を用いて、高次元のコンパクト・コンパクトに類似した幾何が提案され、制約 $\sum u_i\mu^i = \mu$ および $v_jw_k - v_kw_j = -\frac{1}{2}\mu^i\varepsilon_{ijk}$ を有し、同様のQFT4実現を許容する。
• パrameter $\sigma$ および $\tau$ を用いた射影的形式により、$\mathbb{C}^{*2}$-不変な一般化が可能となり、超場は $U(1)\times U(1)\times SU(3)$ の下で変換し、拡張された超場方程式を満たす。