[論文レビュー] Topological Strings on Elliptic Fibrations

Murad Alim, Emanuel Scheidegger|arXiv (Cornell University)|May 8, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 58被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、鏡像対称性と特別幾何学を用いて、楕円曲線に積もったカルラヤ・ヤウ3次元多様体上の高(genus)位相的弦振幅の洗練された多項式構造を構築する。ベースのモジュリで振幅を展開することで、ファイバーのモジュリ依存性がSL(2,Z)のモジュラー形式によって記述されることを示し、異常方程式を一般化する再帰的関係を導出し、イーゼンスタイン級数とディスクリミナント形式Δを用いて、genus-1からgenus-3の振幅の正確な表現を提供する。

ABSTRACT

We study topological string theory on elliptically fibered Calabi-Yau threefolds using mirror symmetry. We compute higher genus topological string amplitudes and express these in terms of polynomials of functions constructed from the special geometry of the moduli space. The polynomials are fixed by the holomorphic anomaly equations supplemented by the expected behavior at the boundary in moduli space. We further expand the amplitudes in the base moduli of the elliptic fibration and find that the fiber moduli dependence is captured by a finer polynomial structure in terms of the modular forms of the modular group of the elliptic curve. We further find a recursive equation which governs this finer structure and which can be related to the anomaly equations for correlation functions.

研究の動機と目的

• 鏡像対称性を用いて、楕円曲線に積もったカルラヤ・ヤウ多様体上の高(genus)位相的弦振幅を計算すること。
• 特別幾何学の生成子における振幅の多項式構造を、ファイバーのモジュリ依存性を記述するSL(2,Z)のモジュラー形式に拡張すること。
• 洗練された多項式構造を記述する再帰的関係を導出し、ホロモーフィック異常方程式と関連付けること。
• イーゼンスタイン級数E₂, E₄, E₆およびディスクリミナントΔを用いて、genus-1からgenus-3の振幅の明示的表現を提供すること。
• 楕円曲線に積もった構造におけるSL(2,Z)のモジュラー群を通じて、位相的弦振幅を自動形式と結びつけるフレームワークを確立すること。

提案手法

• Bモデルにおける鏡像カルラヤ・ヤウ多様体から、元の多様体上のAモデルへの鏡像対称性の適用により、振幅の計算を可能にする。
• ホロモーフィック異常方程式を用いて、特別幾何学の生成子における多項式として高(genus)振幅を構築する。
• 楕円曲線のベースのモジュリで振幅を展開し、SL(2,Z)のモジュラー形式を通じてファイバーのモジュリ依存性を分離する。
• BPS状態の数え上げにおける方程式に類似した、洗練された再帰的関係を同定する。
• 平坦座標と変形空間上の周期積分を用いて、多項式生成子と境界条件を定義する。
• E₂, E₄, E₆およびΔによって生成されるほぼ正則なモジュラー形式の環を用いて、genus 3までの明示的振幅を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線に積もったカルラヤ・ヤウ3次元多様体上の高(genus)位相的弦振幅を、鏡像対称性を用いて体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 SL(2,Z)のモジュラー形式は、位相的弦振幅のファイバーのモジュリ依存性をどのように記述するか？
• RQ3 genus 0および1を超える多項式形式の振幅構造を記述する再帰的構造を導出できるか？
• RQ4 ホロモーフィック異常方程式とモジュラー不変性を組み合わせた場合、多項式構造はどのように制約を受けるか？
• RQ5 genus-2およびgenus-3の振幅の明示的形は、モジュラー形式および特別幾何学の生成子を用いてどのように表されるか？

主な発見

• genus-1振幅はモジュラー形式の有理関数として表され、$ f^{(1)}_1 = rac{1}{288} rac{E_2}{ heta_2} $、ここで$ heta_2 $はディスクリミナントΔに関連する。
• genus-2振幅はE₂, E₄, E₆およびΔの明示的有理関数として与えられ、例えば$ f^{(2)}_1 = rac{1}{69120} rac{1}{ riangle^{3/2}} ig( E_4^2(113 E_6^2 + 31 E_4^3) + 5 E_4 (113 E_6^2 + 31 E_4^3) E_2^2 ig) $。
• genus-3振幅は高次のモジュラー形式を用いて構成され、例えば$ f^{(3)}_3 $は$ riangle^{-9/2} $とE₄, E₆における12次までの多項式を含む。
• 洗練された再帰的関係は、完全なモジュラーおよび多項式構造を記述し、既知の異常方程式を楕円曲線に積もった構造に一般化する。
• 振幅はモジュラー変換の下で一貫したスケーリングを示し、SL(2,Z)の下での自動形式的性質を確認する。
• 多項式生成子はモジュリ空間内の特別な点における境界条件によって固定され、一意性と計算可能性が保証される。